Ensino Superior

Seja a parábola de equação $y=3x^2+4$ . As equações das retas tangentes ao gráfico da parábola que passam pelo ponto $P=(0,1$ ) são:

Como resolver usando derivadas?

Usando derivadas
$y'= 6x$
Equação da reta tangente no ponto (x,y)
$Y-y=f'(x) (X-x) \therefore Y-y = 6x(X-x)$
Como passa por P(0, 1),
$1-y = 6x(0-x) \therefore 6x^2 =y-1$
Mas, $y=3x^2+4$
$6x^2 = 3x^2 - 1+4 \therefore x = \pm 1$
Coeficiente angular, $y'= \pm 6$
Equação da reta: $y-1=\pm 6x \therefore y = \pm 6 x +1$

Eu achei que o coeficiente angular seria 0.

O que é esse X??

Geometricamente, você já poderia descartar esse pensamento.
(X,Y) é o conjunto de pontos da reta:
y-y0 = m(x-x0)
ao em vez de usar x0 e y0, usei x e y (isso facilita problemas que você eventualmente encontrará em equações diferenciais) e X e Y em vez de x e y. Apenas uma questão de notação.

Ah tá, entendi agora.

Valeu cara! Não manjo de cálculo ainda, só sei essa regrinha de "abaixar" os expoentes e multiplicar mesmo, não sei de onde saiu, vou dar uma olhada depois.

Fiz um textinho aqui...heaueha Estou treinando um pouco para o futuro. Para quem faz vestibular militar, esse tipo de conhecimento básico sobre cálculo é uma grande (grande mesmo) vantagem.
De onde saiu:
Bem, embora o cálculo seja uma matéria de nível superior, alguns conceitos básicos podem ser aprendido por quem tem um nível médio bom - não precisa nem ser excelente.
A ideia de derivada provém da ideia de variação: dada uma função f(x), uma pergunta que surge naturalmente é: como f varia quando variamos x? Essa resposta é dada pela derivada. De modo bem superficial, a variação média de f quando x varia de $x_1$ até $x_2$ é dada pela razão incremental:

$\Delta f = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Geometricamente, $\Delta f$ é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $(x_1, f(x_1))$ e $(x_2, f(x_2))$ . Essa reta é uma reta secante ao gráfico de f. Fazendo com que $x_2$ se aproxime cada vez mais de $x_1$ , a reta secante vai ficando cada vez mais mais "tangente" ao gráfico. Assim, no limite em que $x_2 \to x_1$ , ou seja, quando $x_2$ é muito próximo de $x_1$ , porém sem ser igual a $x_1$ , teremos a taxa de variação instantânea de f. Essa é a derivada, e escrevemos:

$f'(x_1) =\lim_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 -x_1}$

onde o símbolo ' representa a derivada. Você também pode encontrar uma notação mais usual e útil, $\frac{df}{dx}$ .
Em palavras: a taxa de variação instantânea de f no ponto $x=x_1$ é igual ao limite da razão incremental. Em termos geométricos, $f'$ é o coeficiente angular da reta tangente no ponto $(x_1, f(x_1))$ .
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Propriedades da derivada
Nessa discussão, é suficiente saber que:
1) A derivada de uma soma é a soma das derivadas, isso é, $(f+g)'(x) =f'(x) + g'(x)$
2) O produto de uma derivada é igual a: $(fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$
3) O quociente de uma derivada é igual a: $\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{[g(x)]^2}$ , desde que $g(x) \neq 0$ para todo x.
4) A derivada de uma constante é nula.
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Portanto, utilizando a propriedade 1, 2 e 4 podemos facilmente calcular a derivada de um polinômio. Seja:

$P(x) = a_0 + a_1 x+a_2 x^2 + \cdots + a_nx^n$

Então,

$P'(x) = (a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n)'$

e, pela propriedade 1:

$P'(x) = (a_0)' + (a_1x)' + (a_2 x^2)' + \cdots + (a_n x^n)'$

Pela propriedade 4, $(a_0)'=0$ , e pela propriedade 2, $(a_nx^n)' =a_n (x^n)' +a_n' x^n$ , mas $a_n' = 0$ , de modo que $(a_n x^n)' = a_n (x_n)'$ . Portanto, nos resta o trabalho de calcular a derivada $(x^n)'$ . Pela própria definição de derivada:

$f'(x_0) = \lim_{ x \to x_0} \frac{x^n - x_0^n}{x-x_0}$

mas, $x^n- x_0^n =(x-x_0) (x^{n-1} + x^{n-2} x_0+ \cdots + x\cdot x_0^{n-2}+x_0^{n-1})$ , e portanto:

$f'(x_0) = \frac{(x-x_0) (x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots + x \cdot x_0^{n-2} + x_0^{n-1})}{x-x_0}$

e, como $x$ se aproxima de $x_0$ , mas nunca são iguais, segue que podemos simplificar o numerador com o denominador e obter $f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} (x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots +x \cdot x_0^{n-2} + x_0^{n-1})$ , portanto, para $x \to x_0$ , cada um desses termos é igual a $x_0^{n-1}$ , e como há n termos:

$(a_nx^n)' = n\cdot a_n\cdot x^{n-1}$

Portanto,

$P'(x) = a_1 + 2a_2 x+ 3a_3 x^2 + \cdot + n\cdot a_n \cdot x^{n-1}$

Cara, obrigado por ter gastado seu tempo me ajudando a entender a matéria. Realmente, acredito que o conhecimento de limites e derivadas é algo que ajuda muito, já tive uma aula sobre noções básicas de cálculo mas acaba ficando tudo muito "jogado" e não consigo entender as aplicações daquilo que estudei.

Só um adendo, na "notação usual" ao invés de $\frac{df}{dx}$ não seria $\frac{dy}{dx}$ ?

Consegui entender um pouco da onde saiu a regra de abaixar os coeficientes (obrigado! rs) mas ainda estou na dúvida, para que serve derivar um polinômio?

Até onde eu entendi de tudo que vi de derivadas, derivar seria achar o coeficiente angular de uma reta, a taxa de variação como você falou. Por isso que no caso do problema que postei é util para achar a reta tangente no ponto dado, mas e em outro casos?

A derivada representa a taxa de variação instantânea. Darei exemplos simples. Não vou fazer as contas, pois quero que você entenda apenas a ideia por trás da derivada.
Exemplo Considere uma esfera de raio R. Suponha que o raio R da esfera cresce a uma taxa constante de M metros por segundo. Uma pergunta que surge naturalmente. Qual a taxa de variação do volume da esfera?
Pense um pouco sobre esse problema. O que ele nos informa é a taxa de variação de R com t, ou seja, ele nos informa que:

$\frac {dR}{dt} = M$

E pede para calcularmos a taxa de variação do volume com o tempo, ou seja, $\frac{dV}{dt}$ .
Interpretação física da derivada: talvez não há nada melhor que uma interpretação física para entendermos um conceito novo. Considere um móvel que se move ao longo do eixo x. A posição desse móvel é monitorada a cada instante. Suponha que no instante $t_1$ ele esteja na posição $s(t_1)$ e no instante $t_2$ na posição $s(t_2)$ . A velocidade média entre esses pontos é:

$v= \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2-t_1}$

Essa velocidade nada nos diz sobre as características do movimento: nos diz apenas que para percorrer a distância $s(t_2)-s(t_1)$ no intervalo de tempo $t_2-t_1$ deveríamos percorrer o percurso, com velocidade constante, igual à velocidade média. Porém, e se quisermos resgatar essas informações? Pode ter havido um momento em que o móvel tenha parado, aumentado ou diminuído sua velocidade. Para termos essa informação, devemos saber a velocidade em cada ponto do percurso, ou seja, devemos obter a velocidade instantânea em cada ponto - ou simplesmente a velocidade do móvel. Mas como fazemos isso? Simples! Basta fazer com que o ponto $t_2$ se aproxime cada vez mais de $t_1$ , até que eles fiquem muito próximos. Percebeu a relação com que expliquei acima? Então:

$v(t_0) = \lim_{t \to t_0} \frac{s(t) - s(t_0)}{t-t_0}=s'(t_0)$

(a última igualdade decorre diretamente da definição de derivada)
Portanto, a velocidade é a derivada da posição. Ou seja, a derivada representa a velocidade com que uma grandeza varia - tal velocidade pode ser relação ao tempo ou qualquer outra grandeza que esteja também variando.
Pergunta: O que representa a derivada da velocidade $v(t)$ , ou seja, qual significado físico de $v'(t)$ ?

A derivada da velocidade é a aceleração (já sabia dessa! rs)

Agora consegui compreender um pouco melhor o conceito da derivada.

Mas fiquei curioso com o problema da esfera que tem um raio crescente. Eu sei que o volume da esfera é dado por $\frac{4}{3} \pi \cdot R^3$ então com certeza o volume cresceria de forma exponencial muito mais rápido do que o raio. Mas como colocar isso em função de M?

E outra, por que a derivada do cosseno é o seno e vice versa?

Cuidado ao confundir exponencial com potência !!! A questão da esfera depende de um teorema que é conhecido como regra da cadeia. Não entrarei em detalhes, mas em geral, podemos escrever que:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

Apresento a solução abaixo.

Resposta

$\frac{dV}{dt}= \frac{dV}{dR} \cdot \frac{dR}{dt}= M \cdot \frac{dV}{dR} =M \frac{d}{dR} \left(\frac 4 3 \pi R^3\right) =4\pi MR^2$

Esse resultado é intuitivo, pois é como se o volume fosse crescendo com as cascas esféricas para cada pequeno aumento do raio R.
Em relação a derivada do seno, por definição:

$(\sin x) '(x_0) =\lim_{ x \to x_0} \frac{\sin x - \sin x_0}{x-x_0}$

Como: $\sin x - \sin x_0 = 2 \sin \left( \frac{x-x_0}{2} \right) \cos \left( \frac{x+x_0}{2}\right)$ , segue que:

$(\sin x ) ' (x_0) =\lim_{x \to x_0} \frac{ \sin \left(\frac{x-x_0}{2} \right) \cos \left( \frac{x+x_0}{2} \right)}{\frac{x-x_0}{2}}$

Para facilitar a notação, façamos $u = \frac{x-x_0}{2}$ . Veja que, quando x se aproxima cada vez mais de $x_0$ , u vai se aproximando cada vez mais de 0. Logo, no limite, escrevemos u tendendo a zero:

$(\sin x)' (x_0) = \lim_{u \to 0}\frac{\sin u \cdot \cos (2u+x_0) \left}{u}$

Pelas propriedades operatórias dos limites, o limite de um produto é o produto dos limites. Assim,

$(\sin x)' (x_0) = \lim_{u \to 0} \cos (2u+x_0) \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u}$

O primeiro desses limites é simples. Quando u tende a zero, temos que o argumento do cosseno vai tendendo cada vez mais para $x_0$ , assim $\lim_{u \to 0} \cos (2u+x_0) = \cos x_0$ . Já o outro limite requer um pouco mais de atenção. Quando u tende a zero, tanto o numerador quanto o denominador tende a zero. Mas com que "rapidez"? Se o numerador estiver indo para zero mais rapidamente do que o denominador, o limite será zero. Se o denominador estiver indo para zero mais rapidamente, é como se estivéssemos dividindo por zero... logo o resultado não seria um número. Se for na mesma velocidade, dará algum número não nulo. Para não estender no assunto, vamos verificar qual o valor do quociente $\sin(x)/x$ para x pequeno:

$\frac{\sin(0.1)}{0.1}= 0,9983 \ \ \ \ \ \ \frac{\sin (0.01)}{0.01}=0,999983 \ \ \ \ \frac{\sin (0.001)}{0.001}=0,9999..$

Parece então que, quando x tende a zero, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ , ou seja, o quociente tende para 1. De fato, esse resultado é verdadeiro e pode ser efetivamente provado, porém isso é complicado. Com tal resultado em mãos, temos que:

$(\sin x)' (x_0) = \cos (x_0)$

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