Ensino Superior ⇒ Espaço vetorial- Álgebra Linear Tópico resolvido

[pklaskoski]

Seja V o conjunto de todas as funções de um conjunto não vazio X em [tex3]\mathbb{R}[/tex3]. Para quaisquer funções f,g [tex3]\in[/tex3] V e qualquer escalar K [tex3]\in[/tex3][tex3]\mathbb{R}[/tex3], sejam f+g e Kf funções definidas como:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(Kf)(x)=Kf(x)

para todo x [tex3]\in[/tex3] X. Provar que V é um espaço vetorial.

[Cardoso1979]

Observe

Uma prova:

I ) u+v = v+u ∀u,v ∈ V

Como K é corpo, f(x) + g(x) = g(x) + f(x) pela comutatividade do corpo. Ou seja

(f+g) (x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x) ∀x ∈X

Logo f+g = g+f

I I ) u+(v+w) = (u+v)+w ∀u,v,w ∈ V

Da mesma forma que o anterior, vem da associatividade do corpo:

f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x)

Disso segue que f + (g+h) = (f+g)+h

I I I ) Existe 0 ∈ V tal que 0+v = v ∀v ∈ V

Basta considerar a função nula (mais precisamente, cuja imagem é o 0 do corpo):

(0+f)(x) = 0(x) + f(x) = 0 + f(x) = 0 ---> 0+f = f

IV ) Existe -v ∈ V tal que v+(-v) = 0

Basta definir (-f)(x) = - (f(x))

Logo (f + (-f) )(x) = f(x) + (-f(x)) = 0

f+ (-f) = 0

V ) (αβ)v = α(βv) ∀v ∈ V ∀α,β ∈ K

( (αβ)f ) (x) = (αβ)f(x) = α ( βf(x) ) = α ((βf) (x)) = ( α(βf) )(x)

Logo (αβ)f = α(βf)

VI ) 1v = v ∀v ∈ V

1f(x) = 1f(x) = f(x)

Logo 1f = f.

VII ) (α+β)v = (αv) + (βv) ∀v ∈ V ∀α,β ∈ K

(α+β)f(x) = (α+β)f(x) = αf(x) + βf(x) = (αf + βf) (x)

(α+β)f = αf + βf

VIII ) α(u+v) = (αu) + (αv) ∀u,v ∈ V ∀α ∈ K

α(f+g)(x) = α(f(x) + g(x)) = αf(x) + αg(x) = (αf + αg)(x)

α(f+g) = αf + αg. C.q.p.

Mais um usuário que teve todas as suas perguntas resolvidas ( perguntas referente ao Ensino Superior ) liquidado meu amigo , não quero nem saber!


Excelente estudo!