Ensino Superior ⇒ Área entre curvas Tópico resolvido

[pklaskoski]

Calcule a área da região limitada pelas curvas dadas utilizando integral:
y=[tex3]\frac{2}{1+x^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{1+x^{2}}[/tex3]

, y= |x|

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

A área é dada pelo gráfico abaixo:

Screenshot_20221008-100411~3.png (38.76 KiB) Exibido 196 vezes

Fazendo a interseção entre os gráficos y = | x | e y = 2/( 1 + x² ) , temos que

| x | = 2/( 1 + x² )

x = ± 2/( 1 + x² )

• x³ + x - 2 = 0 ∴ x = 1 ( as outras duas raízes são complexas! )

• x³ + x + 2 = 0 ∴ x = - 1 ( as outras duas raízes são complexas!! )

Assim , analisando o gráfico , a área pedida é dada por:

[tex3]A = \int\limits_{-1}^{1}\left[\left(\frac{2}{ 1 + x^2 }\right) - | x | \right]dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \int\limits_{-1}^{1}\left[\left(\frac{2}{ 1 + x^2 }\right) - | x | \right]dx[/tex3]

Agora aqui você tem que ser um cara esperto, perceba que há uma simetria com relação a área , podemos "tomar" apenas um lado do esboço do gráfico e multiplicar por dois (2) , perceba ainda que um "chifre" do gráfico y = | x | equivale à y = x , então;


[tex3]A = 4. \int\limits_{0}^{1}\left(\frac{1}{ 1 + x^2 }\right) dx \ - \ 2.\int\limits_{0}^{1}x \ dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = 4. \int\limits_{0}^{1}\left(\frac{1}{ 1 + x^2 }\right) dx \ - \ 2.\int\limits_{0}^{1}x \ dx[/tex3]

[tex3]A = [4.arc \ tg( x ) - x^2 ]_{0}^{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = [4.arc \ tg( x ) - x^2 ]_{0}^{1}[/tex3]

Logo,

A = ( π - 1 ) u.a.



Excelente estudo!