Calcule a área da região limitada pelas curvas dadas utilizando integral:
y=[tex3]\frac{2}{1+x^{2}}[/tex3]
, y= |x|
Ensino Superior ⇒ Área entre curvas Tópico resolvido
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Área entre curvas
Última edição: pklaskoski (Dom 05 Jun, 2016 19:53). Total de 1 vez.
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Out 2022
08
11:14
Re: Área entre curvas
Observe
Uma solução:
A área é dada pelo gráfico abaixo:
Fazendo a interseção entre os gráficos y = | x | e y = 2/( 1 + x² ) , temos que
| x | = 2/( 1 + x² )
x = ± 2/( 1 + x² )
• x³ + x - 2 = 0 ∴ x = 1 ( as outras duas raízes são complexas! )
• x³ + x + 2 = 0 ∴ x = - 1 ( as outras duas raízes são complexas!! )
Assim , analisando o gráfico , a área pedida é dada por:
[tex3]A = \int\limits_{-1}^{1}\left[\left(\frac{2}{ 1 + x^2 }\right) - | x | \right]dx[/tex3]
Agora aqui você tem que ser um cara esperto, perceba que há uma simetria com relação a área , podemos "tomar" apenas um lado do esboço do gráfico e multiplicar por dois (2) , perceba ainda que um "chifre" do gráfico y = | x | equivale à y = x , então;
[tex3]A = 4. \int\limits_{0}^{1}\left(\frac{1}{ 1 + x^2 }\right) dx \ - \ 2.\int\limits_{0}^{1}x \ dx[/tex3]
[tex3]A = [4.arc \ tg( x ) - x^2 ]_{0}^{1}[/tex3]
Logo,
A = ( π - 1 ) u.a.
Excelente estudo!
Uma solução:
A área é dada pelo gráfico abaixo:
Fazendo a interseção entre os gráficos y = | x | e y = 2/( 1 + x² ) , temos que
| x | = 2/( 1 + x² )
x = ± 2/( 1 + x² )
• x³ + x - 2 = 0 ∴ x = 1 ( as outras duas raízes são complexas! )
• x³ + x + 2 = 0 ∴ x = - 1 ( as outras duas raízes são complexas!! )
Assim , analisando o gráfico , a área pedida é dada por:
[tex3]A = \int\limits_{-1}^{1}\left[\left(\frac{2}{ 1 + x^2 }\right) - | x | \right]dx[/tex3]
Agora aqui você tem que ser um cara esperto, perceba que há uma simetria com relação a área , podemos "tomar" apenas um lado do esboço do gráfico e multiplicar por dois (2) , perceba ainda que um "chifre" do gráfico y = | x | equivale à y = x , então;
[tex3]A = 4. \int\limits_{0}^{1}\left(\frac{1}{ 1 + x^2 }\right) dx \ - \ 2.\int\limits_{0}^{1}x \ dx[/tex3]
[tex3]A = [4.arc \ tg( x ) - x^2 ]_{0}^{1}[/tex3]
Logo,
A = ( π - 1 ) u.a.
Excelente estudo!
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