Ensino SuperiorDerivada da função Tópico resolvido

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Babalu83
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Jun 2016 02 10:16

Derivada da função

Mensagem não lida por Babalu83 »

Calcular a derivada das seguintes funções

a) [tex3]\frac{senx}{x^{e}}[/tex3]

b) [tex3]xe^{x}[/tex3]

c) [tex3]\frac{Inx}{x}[/tex3]

Última edição: Babalu83 (Qui 02 Jun, 2016 10:16). Total de 1 vez.



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VALDECIRTOZZI
5 - Mestre
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Jun 2016 02 10:47

Re: Derivada da função

Mensagem não lida por VALDECIRTOZZI »

Caro Babalu83, a regra número número 8 do fórum solicita que seja postada apenas uma questão por tópico. Solicito que observe esse detalhes da próxima vez.

Grato



So many problems, so little time!

Auto Excluído (ID:16348)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Jun 2016 02 13:14

Re: Derivada da função

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:16348) »

Olá,

Para derivar essas funções você fará uso de algumas regras de derivação que provavelmente já deve ter visto:
1) Regra do quociente
[tex3]\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}[/tex3]
2) Regra do produto:
[tex3][f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)[/tex3]
Portanto, você terá que escolher quem é f(x) e quem é g(x):
No item (a):
[tex3]\frac{sen(x)}{x^{e}}[/tex3] , eu irei chamar [tex3]f(x) = sen(x)[/tex3] e [tex3]g(x) = x^{e}[/tex3]
Daí, como foi feito na propriedade que chamei de 1:
[tex3]\left[\frac{sen(x)}{x^{e}}\right]' = \frac{[sen(x)]' \cdot x^{e} - sen(x)\cdot [x^{e}]'}{[x^{e}]^{2}}[/tex3]
O resultado da derivada é:
[tex3]\left[\frac{sen(x)}{x^{e}}\right]' = \frac{cos(x) \cdot x^{e} - sen(x)\cdot e\cdot x^{e-1}}{[x^{e}]^{2}}[/tex3]
Simplificando:
[tex3]\left[\frac{sen(x)}{x^{e}}\right]' = cos(x) \cdot (x^{e})^{-1} - sen(x)\cdot e\cdot x^{-e-1}[/tex3]
Finalmente, você obterá esse resultado que ainda poderia ser reduzido:
[tex3]\left[\frac{sen(x)}{x^{e}}\right]' = cos(x) \cdot (x^{e})^{-1} - sen(x)\cdot e\cdot x^{-e-1}[/tex3]

No item (b):
[tex3]xe^{x}[/tex3] , eu irei chamar [tex3]f(x) = x[/tex3] e [tex3]g(x) = e^{x}[/tex3]
Daí, como foi feito na propriedade que chamei de 2:
[tex3][xe^{x}]' = x' \cdot e^{x} + x\cdot[e^{x}]'[/tex3]
O resultado da derivada é:
[tex3][xe^{x}]' = e^{x} + x\cdot e^{x}[/tex3]
Que pode ser simplificado:
[tex3][xe^{x}]' = e^{x}\cdot (1 + x)[/tex3]

No item (c):
[tex3]\frac{Inx}{x}[/tex3] , eu irei chamar [tex3]f(x) = In(x)[/tex3] e [tex3]g(x) = x[/tex3]
Daí, como foi feito na propriedade que chamei de 1:
[tex3]\left[\frac{Inx}{x} \right]' = \frac{[In(x)]'\cdot x - In(x)\cdot x' }{x^{2}}[/tex3]
O resultado da derivada é:
[tex3]\left[\frac{Inx}{x} \right]' = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - In(x)}{x^{2}}[/tex3]
Que pode ser simplificado:
[tex3]\left[\frac{Inx}{x} \right]' = \frac{1 - In(x)}{x^{2}}[/tex3]

Existem três considerações que gostaria que ficasse em mente:
1) A regra do quociente pode ser substituída pela regra do produto.
2) A regra da cadeia está presente em várias etapas desse exercício.
3) Não tenha medo da derivada de [tex3]x^{e}[/tex3] , o [tex3]e[/tex3] no expoente apresenta o mesmo raciocínio para a derivada de [tex3]x^{n}[/tex3] .

Atenciosamente,
Pedro.
PS: Você consegue dizer como ficaria essas derivadas na notação de Leibniz?

Última edição: Auto Excluído (ID:16348) (Qui 02 Jun, 2016 13:14). Total de 1 vez.



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