Calcular a derivada das seguintes funções
a) [tex3]\frac{senx}{x^{e}}[/tex3]
b) [tex3]xe^{x}[/tex3]
c) [tex3]\frac{Inx}{x}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Derivada da função Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2016
02
10:16
Derivada da função
Editado pela última vez por Babalu83 em 02 Jun 2016, 10:16, em um total de 1 vez.
-
VALDECIRTOZZI
- Mensagens: 2569
- Registrado em: 04 Ago 2008, 17:08
- Última visita: 13-10-20
- Agradeceu: 197 vezes
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Jun 2016
02
10:47
Re: Derivada da função
Caro Babalu83, a regra número número 8 do fórum solicita que seja postada apenas uma questão por tópico. Solicito que observe esse detalhes da próxima vez.
Grato
Grato
So many problems, so little time!
-
Auto Excluído (ID:16348)
- Última visita: 31-12-69
Jun 2016
02
13:14
Re: Derivada da função
Olá,
Para derivar essas funções você fará uso de algumas regras de derivação que provavelmente já deve ter visto:
1) Regra do quociente
[tex3]\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}[/tex3]
2) Regra do produto:
[tex3][f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)[/tex3]
Portanto, você terá que escolher quem é f(x) e quem é g(x):
No item (a):
[tex3]\frac{sen(x)}{x^{e}}[/tex3] , eu irei chamar [tex3]f(x) = sen(x)[/tex3] e [tex3]g(x) = x^{e}[/tex3]
Daí, como foi feito na propriedade que chamei de 1:
[tex3]\left[\frac{sen(x)}{x^{e}}\right]' = \frac{[sen(x)]' \cdot x^{e} - sen(x)\cdot [x^{e}]'}{[x^{e}]^{2}}[/tex3]
O resultado da derivada é:
[tex3]\left[\frac{sen(x)}{x^{e}}\right]' = \frac{cos(x) \cdot x^{e} - sen(x)\cdot e\cdot x^{e-1}}{[x^{e}]^{2}}[/tex3]
Simplificando:
[tex3]\left[\frac{sen(x)}{x^{e}}\right]' = cos(x) \cdot (x^{e})^{-1} - sen(x)\cdot e\cdot x^{-e-1}[/tex3]
Finalmente, você obterá esse resultado que ainda poderia ser reduzido:
[tex3]\left[\frac{sen(x)}{x^{e}}\right]' = cos(x) \cdot (x^{e})^{-1} - sen(x)\cdot e\cdot x^{-e-1}[/tex3]
No item (b):
[tex3]xe^{x}[/tex3] , eu irei chamar [tex3]f(x) = x[/tex3] e [tex3]g(x) = e^{x}[/tex3]
Daí, como foi feito na propriedade que chamei de 2:
[tex3][xe^{x}]' = x' \cdot e^{x} + x\cdot[e^{x}]'[/tex3]
O resultado da derivada é:
[tex3][xe^{x}]' = e^{x} + x\cdot e^{x}[/tex3]
Que pode ser simplificado:
[tex3][xe^{x}]' = e^{x}\cdot (1 + x)[/tex3]
No item (c):
[tex3]\frac{Inx}{x}[/tex3] , eu irei chamar [tex3]f(x) = In(x)[/tex3] e [tex3]g(x) = x[/tex3]
Daí, como foi feito na propriedade que chamei de 1:
[tex3]\left[\frac{Inx}{x} \right]' = \frac{[In(x)]'\cdot x - In(x)\cdot x' }{x^{2}}[/tex3]
O resultado da derivada é:
[tex3]\left[\frac{Inx}{x} \right]' = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - In(x)}{x^{2}}[/tex3]
Que pode ser simplificado:
[tex3]\left[\frac{Inx}{x} \right]' = \frac{1 - In(x)}{x^{2}}[/tex3]
Existem três considerações que gostaria que ficasse em mente:
1) A regra do quociente pode ser substituída pela regra do produto.
2) A regra da cadeia está presente em várias etapas desse exercício.
3) Não tenha medo da derivada de [tex3]x^{e}[/tex3] , o [tex3]e[/tex3] no expoente apresenta o mesmo raciocínio para a derivada de [tex3]x^{n}[/tex3] .
Atenciosamente,
Pedro.
PS: Você consegue dizer como ficaria essas derivadas na notação de Leibniz?
Para derivar essas funções você fará uso de algumas regras de derivação que provavelmente já deve ter visto:
1) Regra do quociente
[tex3]\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}[/tex3]
2) Regra do produto:
[tex3][f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)[/tex3]
Portanto, você terá que escolher quem é f(x) e quem é g(x):
No item (a):
[tex3]\frac{sen(x)}{x^{e}}[/tex3] , eu irei chamar [tex3]f(x) = sen(x)[/tex3] e [tex3]g(x) = x^{e}[/tex3]
Daí, como foi feito na propriedade que chamei de 1:
[tex3]\left[\frac{sen(x)}{x^{e}}\right]' = \frac{[sen(x)]' \cdot x^{e} - sen(x)\cdot [x^{e}]'}{[x^{e}]^{2}}[/tex3]
O resultado da derivada é:
[tex3]\left[\frac{sen(x)}{x^{e}}\right]' = \frac{cos(x) \cdot x^{e} - sen(x)\cdot e\cdot x^{e-1}}{[x^{e}]^{2}}[/tex3]
Simplificando:
[tex3]\left[\frac{sen(x)}{x^{e}}\right]' = cos(x) \cdot (x^{e})^{-1} - sen(x)\cdot e\cdot x^{-e-1}[/tex3]
Finalmente, você obterá esse resultado que ainda poderia ser reduzido:
[tex3]\left[\frac{sen(x)}{x^{e}}\right]' = cos(x) \cdot (x^{e})^{-1} - sen(x)\cdot e\cdot x^{-e-1}[/tex3]
No item (b):
[tex3]xe^{x}[/tex3] , eu irei chamar [tex3]f(x) = x[/tex3] e [tex3]g(x) = e^{x}[/tex3]
Daí, como foi feito na propriedade que chamei de 2:
[tex3][xe^{x}]' = x' \cdot e^{x} + x\cdot[e^{x}]'[/tex3]
O resultado da derivada é:
[tex3][xe^{x}]' = e^{x} + x\cdot e^{x}[/tex3]
Que pode ser simplificado:
[tex3][xe^{x}]' = e^{x}\cdot (1 + x)[/tex3]
No item (c):
[tex3]\frac{Inx}{x}[/tex3] , eu irei chamar [tex3]f(x) = In(x)[/tex3] e [tex3]g(x) = x[/tex3]
Daí, como foi feito na propriedade que chamei de 1:
[tex3]\left[\frac{Inx}{x} \right]' = \frac{[In(x)]'\cdot x - In(x)\cdot x' }{x^{2}}[/tex3]
O resultado da derivada é:
[tex3]\left[\frac{Inx}{x} \right]' = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - In(x)}{x^{2}}[/tex3]
Que pode ser simplificado:
[tex3]\left[\frac{Inx}{x} \right]' = \frac{1 - In(x)}{x^{2}}[/tex3]
Existem três considerações que gostaria que ficasse em mente:
1) A regra do quociente pode ser substituída pela regra do produto.
2) A regra da cadeia está presente em várias etapas desse exercício.
3) Não tenha medo da derivada de [tex3]x^{e}[/tex3] , o [tex3]e[/tex3] no expoente apresenta o mesmo raciocínio para a derivada de [tex3]x^{n}[/tex3] .
Atenciosamente,
Pedro.
PS: Você consegue dizer como ficaria essas derivadas na notação de Leibniz?
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:16348) em 02 Jun 2016, 13:14, em um total de 1 vez.
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