Ensino Superior ⇒ Limite Tópico resolvido

[nerd2016]

Seja:

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[tex3]f(x) = x^{2} \operatorname{sen} \frac{1}{x}[/tex3]

e

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[tex3]g(x) = x[/tex3]

Calcule

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[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex3]

[PedroCunha]

Olá, nerd2016.

Temos:

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[tex3]\circ f'(x) = 2x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right) + x^2 \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \left( - \frac{1}{x^2} \right) = 2x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \cos \left( \frac{1}{x} \right) \\\\

\circ g'(x) = 1 \\\\

\circ \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \left[ 2x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \cos \left( \frac{1}{x} \right) \right] = \lim_{x \to 0} 2x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \lim_{x \to 0} \cos \left( \frac{1}{x} \right)[/tex3]

Temos agora:

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[tex3]-1 \leq \sin \left( \frac{1}{x} \right) \leq 1, \forall \,\, x \neq 0 \rightarrow -2x \leq 2x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right) \leq 2x, \forall \,\, x \neq 0[/tex3]

Como

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[tex3]\\ \lim_{x \to 0} -2x = \lim_{x \to 0} 2x = 0[/tex3]

, pelo Teorema do Confronto,

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[tex3]\lim_{x \to 0} 2x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right) = 0[/tex3]

No entanto, o limite

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[tex3]\lim_{x \to 0} \cos \left( \frac{1}{x} \right)[/tex3]

não existe, pois a função cosseno sempre está variando entre -1 e 1.

Logo, o limite pedido não existe!

Espero ter ajudado!

Abraços,
Pedro.