Ensino Superior

gabemreis

Estudar a existência dos limites:

Lim(x,y)->(2,1) [tex3]\frac{(x-2)(y-1)}{(x-2)^2 + (y-1)^2}[/tex3]

R: o limite não existe

Lim(x,y)->(1,-3) [tex3]\frac{\sqrt{(x-1)(y+3)} + sin(x-1)(y+3)}{\sqrt{(x-1)(y+3)}}[/tex3]

R: 1

(Não podemos resolver o limite, temos que usar as retas, ex: y=kx, para mostrarmos se o limite existe ou não)

$\lim_{(x,y) \rightarrow (2,1)}\dfrac{(x-2)(y-1)}{(x-2)^2+(y-1)^2}$ . Façamos a substituição: $x-2 = u$ e $y-1 = v$ .

Portanto: Quando $(x,y) \rightarrow (2,1) \Rightarrow (u,v) \rightarrow (0,0)$ .

Temos portanto:
$\lim_{(x,y) \rightarrow (2,1)}\dfrac{(x-2)(y-1)}{(x-2)^2+(y-1)^2} \iff \lim_{(u,v) \rightarrow (0,0)} \dfrac{u \cdot v}{u^2+v^2}$

$\lim_{(u,v) \rightarrow (0,0)} \dfrac{u \cdot v}{u^2+v^2}$ , para $(u,0)$ .

$\lim_{(u,0) \rightarrow(0,0)} \dfrac{0}{u^2 +v^2}=0$ .

Fazendo para: $(u,u)$
$\lim_{(u,u) \rightarrow (0,0)}\dfrac{u^2}{2u^2}=\dfrac{1}{2}$ . Portanto o limite não existe, pois contraria a unicidade do mesmo.

$\lim_{(x,y) \rightarrow (1,-3)}\dfrac{\sqrt{(x-1)(y+3)}+\sin[(x-1)(y+3)]}{\sqrt{(x-1)(y+3)}}$ . Limite da soma é a soma dos limites:

$(I)\lim_{(x,y) \rightarrow (1,-3)} 1+ \lim_{(x,y) \rightarrow(1,-3)} \dfrac{\sin[(x-1)(y+3)]}{\sqrt{(x-1)(y+3)}}$ .
Façamos novamente uma substituição: $x-1 = u$ e $y+3 =v$ .

Quando: $(x,y) \rightarrow (1,-3) \Rightarrow (u,v) \rightarrow (0,0)$ .

Logo devemos calcular esse limite: $\lim_{(u,v) \rightarrow (0,0)} \dfrac{\sin(u \cdot v)}{\sqrt{u \cdot v}}$ .
Multiplicando $u \cdot v$ no numerador e denominador temos:
$\lim_{(u,v) \rightarrow (0,0)}\dfrac{u \cdot v \cdot sin(u \cdot v)}{u \cdot v}=0$ .

Logo o limite é em (I) $1 + 0 = 1$ .

gabemreis

Muito obrigado!! Me ajudou muito!!

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