Ensino Superior

Nos problemas 1 são apresentados transformações lineares para cada uma delas determinar:

a) O núcleo,uma base desse subespaço e sua dimensão;

b) A imagem,uma base desse subespaço e sua dimensão;

1) f: R³→R³,f(x,y,z) = (x + 2y-z,2x-y+z)

Creio que tenha um erro de digitação aí, pois a transformação leva no [tex3]\mathbb R^2[/tex3] e não no [tex3]\mathbb R^3[/tex3]

[tex3]F:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^2\\F(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+z)[/tex3]

[tex3]NucF=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:F(x,y,z)=(0,0)\}\\(x,y,z)\in NucF\\(x+2y-z,2x-y+z)=(0,0)\\\implies\begin{cases}x+2y-z=0\\2x-y+z=0\end{cases}\sim\begin{cases}x+2y-z=0\\3x+y=0\implies y=-3x\end{cases}\\\implies x-3\cdot2x-z=0\\-5x-z=0\\z=-5x\\\implies(x,y,z)=(x,-3x,-5x)=x(1,-3,-5)\\\implies NucF\subset [(1,3,-5)][/tex3]

[tex3]F(1,-3,-5)=(1+2(-3)+5,2\cdot1+3-5)=(0,0)\implies[(1,-3,-5)]\subset NucF\\\implies NucF=[(1,-3,-5)][/tex3]
O conjunto [tex3]\{(1,-3,-5)\}[/tex3] é linearmente independente já que é um conjunto com um único vetor não nulo.
Dessa forma, temos que [tex3]\{(1,-3,-5)\}[/tex3] é base de [tex3]NucF\implies\dim NucF=1[/tex3]

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos que
[tex3]\dim R^3=\dim Nuc F+\dim ImF\\\implies\dim ImF=2[/tex3]
Então temos [tex3]ImF\subset \mathbb R^2[/tex3] e [tex3]\dim ImF=\dim \mathbb R^2[/tex3]
[tex3]\implies ImF=\mathbb R^2[/tex3]
Então [tex3]\{(1,0),(0,1)\}[/tex3] é sabe de [tex3]ImF[/tex3] .

Espero ter ajudado

.

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