[tex3]\lim_{\rightarrow \infty}\left(\frac{\frac{1}{x}}{1+x}\right)^{x}[/tex3]
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Ensino Superior ⇒ Limites Fundamentais Tópico resolvido
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timotio123 
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Abr 2016
21
17:47
Limites Fundamentais
Por favor, alguém poderia me ajudar com esse exercício ?
[tex3]\lim_{\rightarrow \infty}\left(\frac{\frac{1}{x}}{1+x}\right)^{x}[/tex3]
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Obrigado
[tex3]\lim_{\rightarrow \infty}\left(\frac{\frac{1}{x}}{1+x}\right)^{x}[/tex3]
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Última edição: caju (Seg 03 Fev, 2020 15:59). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
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Cardoso1979 
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- Localização: Teresina- PI
Fev 2020
03
10:32
Re: Limites Fundamentais
Observe
Uma solução:
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\frac{\frac{1}{x}}{1+x}\right)^x=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\frac{1}{x+x^2}\right)^x=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{ln\left(\frac{1}{x+x^2}\right)^x}=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{x.ln\left(\frac{1}{x+x^2}\right)}[/tex3]
Podemos aplicar o limite no expoente da exponencial, vem;
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}x.ln\left(\frac{1}{x+x^2}\right)=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}(x).\lim_{x \rightarrow +\infty}ln\left(\frac{1}{x+x^2}\right)=+∞.(-∞)=-∞[/tex3]
Assim,
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{x.ln\left(\frac{1}{x+x^2}\right)}=e^{-∞}=\frac{1}{e^{+∞}}=\frac{1}{+∞}=0[/tex3]
Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\frac{\frac{1}{x}}{1+x}\right)^x=0[/tex3]
Bons estudos!
Uma solução:
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\frac{\frac{1}{x}}{1+x}\right)^x=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\frac{1}{x+x^2}\right)^x=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{ln\left(\frac{1}{x+x^2}\right)^x}=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{x.ln\left(\frac{1}{x+x^2}\right)}[/tex3]
Podemos aplicar o limite no expoente da exponencial, vem;
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}x.ln\left(\frac{1}{x+x^2}\right)=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}(x).\lim_{x \rightarrow +\infty}ln\left(\frac{1}{x+x^2}\right)=+∞.(-∞)=-∞[/tex3]
Assim,
[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{x.ln\left(\frac{1}{x+x^2}\right)}=e^{-∞}=\frac{1}{e^{+∞}}=\frac{1}{+∞}=0[/tex3]
Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\frac{\frac{1}{x}}{1+x}\right)^x=0[/tex3]
Bons estudos!
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