Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear - Polinômios Tópico resolvido

[lorramrj]

O conjunto B = {x^2-1, x^2+1, x-1, x^2+x-4} é LI? Uma base e calcule dim(span(B))

Bom eu montei uma combinacao linear igualando o polinomio nulo.

Montei o sistema:

{-t1 + t2 - t3 - 4t4 = 0
{t3+ t4=0
{t1+t2+t4=0

Escalonando,ae achei:

[-1 1 -1 -4]
[0 2 -1 -3]
[0 0 1 1]

Logo, o conjunto e Ld

Temos 4 variaveis e 3 equacoes entaouma variavel livre no sistema.. O que isso vai me ajudar?

Como vou achar a base e a dimensao

[MPSantos]

O conjunto [tex3]B = \{x^2-1, x^2+1, x-1, x^2+x-4\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B = \{x^2-1, x^2+1, x-1, x^2+x-4\}[/tex3]

é LI? Uma base e calcule [tex3]dim(span(B))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]dim(span(B))[/tex3]

.

Como estamos a trabalhar em [tex3]P_2[x][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_2[x][/tex3]

(polinómios de grau não superior a 2) e como sabemos que [tex3]dim(P_2[x])=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]dim(P_2[x])=3[/tex3]

e como o nosso conjunto B tem 4 polinómios, imediatamente sabemos que o conjunto B é linearmente dependente, que foi a conclusão que chegou.

Isto significa que existe um vetor que ''está a mais'', ou seja, que pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Por exemplo,
[tex3]x^2+x-4=2(x^2-1)-1(x^2+1)+1(x-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+x-4=2(x^2-1)-1(x^2+1)+1(x-1)[/tex3]

Isto então significa que: [tex3]<x^2-1, x^2+1, x-1, x^2+x-4>=<x^2-1, x^2+1, x-1>[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]<x^2-1, x^2+1, x-1, x^2+x-4>=<x^2-1, x^2+1, x-1>[/tex3]

, ou seja, o que conseguimos gerar com [tex3]x^2-1, x^2+1, x-1, x^2+x-4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-1, x^2+1, x-1, x^2+x-4[/tex3]

também conseguimos gerar apenas com [tex3]x^2-1, x^2+1, x-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-1, x^2+1, x-1[/tex3]

.

Vamos verificar se [tex3]B'=\{x^2-1, x^2+1, x-1\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B'=\{x^2-1, x^2+1, x-1\}[/tex3]

é lin. indep.

Fazendo [tex3]t_1(x^2-1)+t_2(x^2+1)+t_3(x-1)=0x^2+0x+0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t_1(x^2-1)+t_2(x^2+1)+t_3(x-1)=0x^2+0x+0[/tex3]

, verá que a única solução é [tex3]t_1=t_2=t_3=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t_1=t_2=t_3=0[/tex3]

(Verificar!), Logo os vetores são linearmente independentes. Logo um exemplo de base é [tex3](x^2-1, x^2+1, x-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^2-1, x^2+1, x-1)[/tex3]

e então [tex3]dim(Span(B))=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]dim(Span(B))=3[/tex3]

.

Espero ter ajudado. Cumprimentos.