Ensino SuperiorPolinômio de Taylor Tópico resolvido

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poti
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Polinômio de Taylor

Mensagem não lida por poti »

Seja f(x,y) de classe C^3 no aberto A \subset \mathbb{R}^2 e seja (x_0,y_0) um ponto de A. Seja \bar{P2}(x,y) um polinômio de grau no máximo 2. Prove que se

\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x,y)-\bar{P2}(x,y)}{||(x,y)-(x_0,y_0)||^2} = 0

então \bar{P2}(x,y) é o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de (x_0,y_0).

Última edição: poti (Qua 06 Abr, 2016 21:28). Total de 1 vez.


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Cardoso1979
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Re: Polinômio de Taylor

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma prova:

Nosso primeiro passo vai ser analisar o valor da nossa função a partir do ponto inicial.

Recordando que f de classe C² em A significa que todas as derivadas parciais de ordem 3 são contínuas em A.


[tex3]f( x , y ) = \begin{cases}
\frac{\partial ^3 f}{\partial x^3 } = M \\
\frac{\partial ^3 f }{\partial x^2 \partial y} = M\\
\frac{\partial ^3 f}{\partial y^2 \partial x} = M \\
\frac{\partial ^3 f}{\partial y^3} = M
\end{cases}[/tex3] .

Encontrado isso, vamos determinar a nossa relação.

f( x , y ) - P [tex3]_{2}[/tex3] ( x , y ) = E( x , y )

( ∆x , ∆y ) = ( 0 , 0 )

lim [ E( x , y ) ]/|| ( x , y ) - ( xo , yo ) ||² = 0

lim [ E( x , y ) ]/( ∆x² + ∆y² ) = 0

E = o( ∆x² + ∆y² )

| E( x , y ) | ≤ | o( ∆x² + ∆y² ) |


Com nossos valores principais já calculados , precisamos jogar todo mundo na equação de Taylor de segunda ordem.

lim ( ∆x² + ∆y² )/√( ∆x² + ∆y² ) = lim √( ∆x² + ∆y² ) = 0.

∆x² + ∆y² = 0[ √( ∆x² + ∆y² ) ]

Agora é só fazermos alguns truques para encontrar o resultado.

| E( x , y ) | ≤ | o[ √( ∆x² + ∆y² ) ] |

Como temos que

[tex3]\frac{ |E(x,y) |}{ ∆x^2 + ∆y^2} ≤ \frac{o (\sqrt{∆x^2 + ∆y^2 } )}{ ∆x^2 + ∆y^2 }[/tex3]

Portanto,

[tex3]\frac{ |E(x,y) |}{ ∆x^2 + ∆y^2} ≤ \frac{o (\sqrt{∆x^2 + ∆y^2 } )( |x| + |y| )}{ ∆x^2 + ∆y^2 }[/tex3] . C.q.p.



Obs. O polinômio de Taylor de segunda ordem é dado por

[tex3]P_{2}( x , y ) = f( x_0 , y_0 ) + \frac{\partial f}{\partial x}( x_0 , y_0 ).x + \frac{\partial f}{\partial y}( x_0 , y_0 ).y + \frac{1}{2}.\left[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}( x_0 , y_0 ).x^2 + 2.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}( x_0 , y_0 ).xy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}( x_0 , y_0 ).y^2 \right][/tex3]





Excelente estudo!




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