Mensagem não lida por Cardoso1979 » Sáb 27 Ago, 2022 21:01
Mensagem não lida
por Cardoso1979 » Sáb 27 Ago, 2022 21:01
Observe
Uma prova:
Nosso primeiro passo vai ser analisar o valor da nossa função a partir do ponto inicial.
Recordando que f de classe C² em A significa que todas as derivadas parciais de ordem 3 são contínuas em A.
[tex3]f( x , y ) = \begin{cases}
\frac{\partial ^3 f}{\partial x^3 } = M \\
\frac{\partial ^3 f }{\partial x^2 \partial y} = M\\
\frac{\partial ^3 f}{\partial y^2 \partial x} = M \\
\frac{\partial ^3 f}{\partial y^3} = M
\end{cases}[/tex3]
.
Encontrado isso, vamos determinar a nossa relação.
f( x , y ) - P [tex3]_{2}[/tex3]
( x , y ) = E( x , y )
( ∆x , ∆y ) = ( 0 , 0 )
lim [ E( x , y ) ]/|| ( x , y ) - ( xo , yo ) ||² = 0
lim [ E( x , y ) ]/( ∆x² + ∆y² ) = 0
E = o( ∆x² + ∆y² )
| E( x , y ) | ≤ | o( ∆x² + ∆y² ) |
Com nossos valores principais já calculados , precisamos jogar todo mundo na equação de Taylor de segunda ordem.
lim ( ∆x² + ∆y² )/√( ∆x² + ∆y² ) = lim √( ∆x² + ∆y² ) = 0.
∆x² + ∆y² = 0[ √( ∆x² + ∆y² ) ]
Agora é só fazermos alguns truques para encontrar o resultado.
| E( x , y ) | ≤ | o[ √( ∆x² + ∆y² ) ] |
Como temos que
[tex3]\frac{ |E(x,y) |}{ ∆x^2 + ∆y^2} ≤ \frac{o (\sqrt{∆x^2 + ∆y^2 } )}{ ∆x^2 + ∆y^2 }[/tex3]
Portanto,
[tex3]\frac{ |E(x,y) |}{ ∆x^2 + ∆y^2} ≤ \frac{o (\sqrt{∆x^2 + ∆y^2 } )( |x| + |y| )}{ ∆x^2 + ∆y^2 }[/tex3]
. C.q.p.Obs. O polinômio de Taylor de segunda ordem é dado por
[tex3]P_{2}( x , y ) = f( x_0 , y_0 ) + \frac{\partial f}{\partial x}( x_0 , y_0 ).x + \frac{\partial f}{\partial y}( x_0 , y_0 ).y + \frac{1}{2}.\left[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}( x_0 , y_0 ).x^2 + 2.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}( x_0 , y_0 ).xy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}( x_0 , y_0 ).y^2 \right][/tex3]
Excelente estudo!