Ensino Superior ⇒ Taxas Relacionadas Tópico resolvido

[poti]

Um recipiente na forma de um cone invertido tem 16 cm de altura e 5cm de raio no topo. Ele está parcialmente cheio de um líquido que vaza pelos lados proporcionalmente a área que está em contato com o líquido (área = [tex3]\pi r l[/tex3]

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[tex3]\pi r l[/tex3]

, onde r é o raio da borda do líquido e l é o comprimento lateral). Se estivermos derramando líquido para dentro do recipiente a uma taxa de 2cm³/min, então a altura do líquido decrescerá a uma taxa de 0,3 cm/min quando a altura do líquido for 10cm. Se nossa finalidade for manter a altura do líquido constante em 10cm, a que taxa devemos derramar líquido dentro do recipiente?

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Screenshot_20220828-201925-215~2.png (194.78 KiB) Exibido 269 vezes

Da figura acima, por semelhança de triângulos, temos ;
r/5 = h/16

r = 5h/16.

O volume do cone é

V = ( 1/3 ).π.r².h

V = ( 1/3 ).π.( 5h/16 )^2.h

V = 25πh³/768.

Então,

dV/dt = ( 25πh²/256 )dh/dt.

Agora a taxa de variação do volume também é igual à diferença do que está sendo adicionado ( 2cm³/min ) e o que está escorrendo ( kπrl , onde πrl é a área do cone e k é uma constante de proporcionalidade ).

Assim,

dV/dt = 2 - kπrl.

Igualando as duas expressões para dV/dt e substituindo h = 10, dh/dt = - 0,3 , r = [ 5(10) ]/16 = 25/8 e l/√281 = 10/16 ⇔ l = ( 5/8 ).√281 , nós teremos

( 25π/256 ).( 10 )^2.( - 0,3 ) = 2 - kπ.( 25/8 ).( 5/8 ).√281
⇔ ( 125kπ√281 )/64 = 2 + ( 750π/256 ).

Resolvendo para k, obtemos:

k = ( 256 + 375π )/( 250π√281 ).

Para manter uma certa altura, a taxa de vazamento , kπrl , deve ser igual à taxa do líquido que está sendo despejado ; isto é , dV/dt = 0.

kπrl = [tex3]\left(\frac{ 256 + 375π }{250π\sqrt{281}}\right).π.\frac{25}{8}.\frac{5\sqrt{281}}{8}[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{ 256 + 375π }{250π\sqrt{281}}\right).π.\frac{25}{8}.\frac{5\sqrt{281}}{8}[/tex3]

= ( 256 + 375π )/128 ≈ 11,204 cm³/min.


Excelente estudo!