Mostre que
Ensino Superior ⇒ Fundamentos de Análise Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2016
02
22:30
Fundamentos de Análise
Alguém pode me ajudar com essa questão?
%5Enn%5E%7B-1%7D,n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5C%7D "A = \{x\in\mathbb{Q}:x=(-1)^nn^{-1},n\in\mathbb{N}\}")
.
Mostre que
e 
Mostre que
Última edição: jogurgel (Sáb 02 Abr, 2016 22:30). Total de 2 vezes.
JoDias
Abr 2016
03
07:38
Re: Fundamentos de Análise
[tex3]A = \{x\in\mathbb{Q}:\,x=(-1)^nn^{-1},\,n\in\mathbb{N}\}[/tex3]
[tex3]A=\begin{cases}
n^{-1},\, n \, \text{par} \\
-n^{-1},\, n \, \text{impar}
\end{cases}[/tex3]
Vamos verificar se [tex3]\text{sup }A=\frac{1}{2}[/tex3] .
[tex3]\begin{cases}
n^{-1} \leq \frac{1}{2},\, n \, \text{par}\\
-n^{-1} \leq \frac{1}{2},\, n \, \text{impar}
\end{cases}
\\\Rightarrow
\begin{cases}
2 \leq n,\, n \, \text{par}\\
-2 \leq n,\, n \, \text{impar}
\end{cases}
\\\text{Proposicao Verdadeira, logo sup }A=\frac{1}{2}.[/tex3]
Vamos verificar se [tex3]\text{inf }A=-1[/tex3] .
[tex3]\begin{cases}
n^{-1} \geq -1,\, n \, \text{par}\\
-n^{-1} \geq -1,\, n \, \text{impar}
\end{cases}
\\\Rightarrow
\begin{cases}
1 \geq -n,\, n \, \text{par}\\
-1 \geq -n,\, n \, \text{impar}
\end{cases}
\\\Rightarrow
\begin{cases}
-1 \leq n,\, n \, \text{par}\\
1 \leq n,\, n \, \text{impar}
\end{cases}
\\\text{Proposicao Verdadeira, logo inf }A=-1.[/tex3]
-------------------------------------------------------
Ou então vamos deduzir o infímo e o supremo do conjunto.
[tex3]A=\begin{cases}
n^{-1},\, n \, \text{par} \\
-n^{-1},\, n \, \text{impar}
\end{cases}[/tex3]
Da sucessão dos números de [tex3]A[/tex3] , vamos olhar para a subsucessão quando [tex3]n[/tex3] é par e a subsucessão quando [tex3]n[/tex3] é impar.
Quando [tex3]n[/tex3] é par os elementos de [tex3]A[/tex3] são positivos e os valores são decrescentes à medida que o [tex3]n[/tex3] aumenta.
Quando [tex3]n[/tex3] é impar os elementos de [tex3]A[/tex3] são negativos e os valores são crescentes à medida que o [tex3]n[/tex3] aumenta.
Portanto o supremo de [tex3]A[/tex3] , nomeadamente o máximo, será o elemento para [tex3]n=2[/tex3] , ou seja [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] e o ínfimo, nomeadamente o mínimo, será o elemento para [tex3]n=1[/tex3] , ou seja [tex3]-1[/tex3] .
Cumprimentos.
[tex3]A=\begin{cases}
n^{-1},\, n \, \text{par} \\
-n^{-1},\, n \, \text{impar}
\end{cases}[/tex3]
Vamos verificar se [tex3]\text{sup }A=\frac{1}{2}[/tex3] .
[tex3]\begin{cases}
n^{-1} \leq \frac{1}{2},\, n \, \text{par}\\
-n^{-1} \leq \frac{1}{2},\, n \, \text{impar}
\end{cases}
\\\Rightarrow
\begin{cases}
2 \leq n,\, n \, \text{par}\\
-2 \leq n,\, n \, \text{impar}
\end{cases}
\\\text{Proposicao Verdadeira, logo sup }A=\frac{1}{2}.[/tex3]
Vamos verificar se [tex3]\text{inf }A=-1[/tex3] .
[tex3]\begin{cases}
n^{-1} \geq -1,\, n \, \text{par}\\
-n^{-1} \geq -1,\, n \, \text{impar}
\end{cases}
\\\Rightarrow
\begin{cases}
1 \geq -n,\, n \, \text{par}\\
-1 \geq -n,\, n \, \text{impar}
\end{cases}
\\\Rightarrow
\begin{cases}
-1 \leq n,\, n \, \text{par}\\
1 \leq n,\, n \, \text{impar}
\end{cases}
\\\text{Proposicao Verdadeira, logo inf }A=-1.[/tex3]
-------------------------------------------------------
Ou então vamos deduzir o infímo e o supremo do conjunto.
[tex3]A=\begin{cases}
n^{-1},\, n \, \text{par} \\
-n^{-1},\, n \, \text{impar}
\end{cases}[/tex3]
Da sucessão dos números de [tex3]A[/tex3] , vamos olhar para a subsucessão quando [tex3]n[/tex3] é par e a subsucessão quando [tex3]n[/tex3] é impar.
Quando [tex3]n[/tex3] é par os elementos de [tex3]A[/tex3] são positivos e os valores são decrescentes à medida que o [tex3]n[/tex3] aumenta.
Quando [tex3]n[/tex3] é impar os elementos de [tex3]A[/tex3] são negativos e os valores são crescentes à medida que o [tex3]n[/tex3] aumenta.
Portanto o supremo de [tex3]A[/tex3] , nomeadamente o máximo, será o elemento para [tex3]n=2[/tex3] , ou seja [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] e o ínfimo, nomeadamente o mínimo, será o elemento para [tex3]n=1[/tex3] , ou seja [tex3]-1[/tex3] .
Cumprimentos.
Última edição: MPSantos (Dom 03 Abr, 2016 07:38). Total de 1 vez.
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