Ensino Superior

luansavariz

[tex3]\lim \sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x}[/tex3]
x [tex3]\rightarrow +\infty[/tex3]

De acordo com o gabarito que eu tenho, a resposta é zero. A minha resolução não bateu com esse resultado, segue:

Sendo [tex3]\sqrt[3]{x+1} = a^{3}[/tex3] e [tex3]\sqrt[3]{x} = b^{3}[/tex3]

Pela diferença de cubos: (a-b)(a²+ab+b²) = (x+1-x)[(x+1)²+(x+1)x+x²] = (x²+2x+1+x²+x+x²) = 3x²+3x+1

Portanto, teríamos:
[tex3]\lim 3x^{2}+3x+1[/tex3] = +[tex3]\infty[/tex3]
x [tex3]\rightarrow +\infty[/tex3]

Gostaria que me indicassem o erro e apontassem a possível resolução, estou inciando agora em cálculo. Obrigado desde já

Cara se $a^3 = \sqrt[3] {x+1}$ então $a= \sqrt[9] {x+1}$ ..
Esse limite é intuitivo... quando x >> 1, $1+x \approx x$ e o resultado vai se tornando mais exato quando x vai se tornando cada vez maior. Assim, é de se esperar que o limite seja zero. Analiticamente, você pode fazer:
$a=x+1$ , $b=x$ . Como $a-b = (\sqrt[3] {a} - \sqrt[3] {b}) (\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) \Rightarrow \sqrt[3] a - \sqrt[3] b = \frac{a-b}{\sqrt[3]{a^2} +\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} \\ \lim_{x\to +\infty} [\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x}] =\lim_{x\to+\infty} \frac{x+1-x}{\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x(x+1)}+\sqrt[3]{x^2}}= \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x(x+1)}+\sqrt[3]{x^2}}$
e claramente esse último limite vai a zero..
Quando você estiver com problemas como esse, uma abordagem intuitiva é muito melhor do que ja sair fazendo conta de cara...

luansavariz

Nossaaaaa cara, vacilei muito hahaha. Brigadão!!!

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