Ensino Superior

Questão interessante..
Mostre que, para todo $x\in ]-1, 1[$ :

$\sum_{k=1}^{+\infty} (k+1) x^k = \frac{2x-x^2}{(1-x)^2}$

O legal é que ela pode ser resolvida facilmente tanto por processos elementares quanto por não elementares.

$\sum_{k=1}^{+\infty} (k+1) x^k = \sum_{k=1}^{+\infty} kx^k + \sum_{k=1}^{+\infty} x^k$
O primeiro termo pode ser calculado derivando a soma infinita de uma PG e multiplicando novamente por x:
$\sum_{k=1}^{+\infty} x^k=\frac{x}{1-x} \rightarrow \sum_{k=1}^{+\infty} kx^{k-1}=\frac{(1-x)+x}{(1-x)^2}=\frac{1}{(x-1)^2}$
$\sum_{k=1}^{+\infty} kx^{k}=\frac{x}{(x-1)^2}$
Então a soma inicial fica:
$\sum_{k=1}^{+\infty} kx^k + \sum_{k=1}^{+\infty} x^k=\frac{x}{(x-1)^2} + \frac{x}{1-x}=\frac{x}{(x-1)^2} - \frac{x}{x-1}=\frac{x-x(x-1)}{(x-1)^2}=$
$\frac{x-x^2+x}{(x-1)^2}=\frac{2x-x^2}{(x-1)^2}$

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