Dada a equação:
[tex3]x^2 - 2px + p^2-m^2=0[/tex3]
Mostre que para todo [tex3]p > 1[/tex3]
existe [tex3]m < p[/tex3]
tal que as soluções daquela equação são números primos.
*[tex3]p,m \in \mathbb{N}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Equação do 2° e Números Primos
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Dez 2015
24
21:08
Equação do 2° e Números Primos
Última edição: minkowski (Qui 24 Dez, 2015 21:08). Total de 1 vez.
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Loexdramorama 
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Mai 2016
23
13:12
Re: Equação do 2° e Números Primos
Oi Tudo bem?
Eu acredito que o que diz nesta questão não é verdade.
Vamos analisar.
[tex3]x^{2}-2px+p^{2}-m^{2}=0[/tex3]
[tex3]x=\frac{2p\pm \sqrt{4p^{2}-4(p^{2}-m^{2})}}{2*1}[/tex3]
[tex3]x=\frac{2p\pm \sqrt{4p^{2}-4p^{2}+4m^{2}}}{2}[/tex3]
[tex3]x=\frac{2p\pm \sqrt{0-4m^{2}}}{2}[/tex3]
[tex3]x=\frac{2p\pm 2m}{2}[/tex3]
[tex3]x=p\pm m[/tex3]
Com isto percebemos que as raízes serão [tex3]x=p+ m[/tex3] e [tex3]x=p- m[/tex3] .
Não vejo relação alguma com números primos.
De fato é verdade que não são só números primos. Vamos manipular as raízes para encontrar raízes que não são números primos.
Sabemos que primo mais primo é par pq primos são impares e impar +impar é par.
seguindo esta lógica escolheremos dois números impares. 3 e 5 para que as contas não fiquem muito grandes.
Já que lá diz que m<p faremos m=3 e p=5 e encontramos a seguinte equação...
[tex3]x^{2}-2(5)x+5^{2}-3^{2}=x^{2}-10x+16=0[/tex3]
Suas raízes são 2 e 8. Tá aí. Uma das raízes não é número primo.
Se escolher m=7 e p=11 teremos [tex3]x^{2}-22x+72=0[/tex3] e as raízes são 4 e 18. Dois números que não são primos.
Viu!?! Não sei onde vc encontrou esta questão mas o que ela diz não é verdade. Pelo menos o que está escrito aí não é verdade.
Eu acredito que o que diz nesta questão não é verdade.
Vamos analisar.
[tex3]x^{2}-2px+p^{2}-m^{2}=0[/tex3]
[tex3]x=\frac{2p\pm \sqrt{4p^{2}-4(p^{2}-m^{2})}}{2*1}[/tex3]
[tex3]x=\frac{2p\pm \sqrt{4p^{2}-4p^{2}+4m^{2}}}{2}[/tex3]
[tex3]x=\frac{2p\pm \sqrt{0-4m^{2}}}{2}[/tex3]
[tex3]x=\frac{2p\pm 2m}{2}[/tex3]
[tex3]x=p\pm m[/tex3]
Com isto percebemos que as raízes serão [tex3]x=p+ m[/tex3] e [tex3]x=p- m[/tex3] .
Não vejo relação alguma com números primos.
De fato é verdade que não são só números primos. Vamos manipular as raízes para encontrar raízes que não são números primos.
Sabemos que primo mais primo é par pq primos são impares e impar +impar é par.
seguindo esta lógica escolheremos dois números impares. 3 e 5 para que as contas não fiquem muito grandes.
Já que lá diz que m<p faremos m=3 e p=5 e encontramos a seguinte equação...
[tex3]x^{2}-2(5)x+5^{2}-3^{2}=x^{2}-10x+16=0[/tex3]
Suas raízes são 2 e 8. Tá aí. Uma das raízes não é número primo.
Se escolher m=7 e p=11 teremos [tex3]x^{2}-22x+72=0[/tex3] e as raízes são 4 e 18. Dois números que não são primos.
Viu!?! Não sei onde vc encontrou esta questão mas o que ela diz não é verdade. Pelo menos o que está escrito aí não é verdade.
Última edição: Loexdramorama (Seg 23 Mai, 2016 13:12). Total de 1 vez.
Mai 2016
28
15:53
Re: Equação do 2° e Números Primos
Acho que voçê não entendeu a questão, ela pede para mostrar que para todo p > 1 existe m < p tal que as soluções daquela equação são números primos, e não que as raizes da equação são numeros primos.
E também a questão não afirma nada sobre a primalidade das raizes, não sei de onde tirou isso!
E também a questão não afirma nada sobre a primalidade das raizes, não sei de onde tirou isso!
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Loexdramorama
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Mai 2016
28
23:49
Re: Equação do 2° e Números Primos
Não enxerguei a palavra existe. Me desculpa.minkowski escreveu:Acho que voçê não entendeu a questão, ela pede para mostrar que para todo p > 1 existe m < p tal que as soluções daquela equação são números primos, e não que as raizes da equação são numeros primos.
E também a questão não afirma nada sobre a primalidade das raizes, não sei de onde tirou isso!
Última edição: Loexdramorama (Sáb 28 Mai, 2016 23:49). Total de 1 vez.
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Loexdramorama
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Mai 2016
29
01:04
Re: Equação do 2° e Números Primos
Da outra vez eu não vi a palavra existe. Agora eu entendi a questão.
Temos que provar que para qualquer [tex3]p \in \mathbb{N}[/tex3] [tex3]p>1[/tex3] existe um [tex3]m \in \mathbb{N}[/tex3] com [tex3]m < p[/tex3] .
Primeiro vamos resolver a equação e perceber como são as raízes.
Anteriormente eu fiz isto e encontrei as seguintes soluções: [tex3]x1= p-m[/tex3] e [tex3]x2=p+m[/tex3] .
Para que [tex3]x1[/tex3] e [tex3]x2[/tex3] sejam primos temos que p é par ou m é par pq...
impar + impar = par
par + par = par
IMPAR + PAR = IMPAR.
Vamos escrever os números como multiplicação de números primos. (Faremos m par, mas podemos escolher p par sem perda)
[tex3]p=r1r2r3...ra[/tex3] e [tex3]m=2q1q2q3...qb[/tex3] com [tex3]b<a[/tex3] .Portanto o número 2 é o único primo que temos certeza de ser usado.
Vamos estudar a solução:
Se p e m são primos entre si alguns rs são iguais a uns qs e teremos [tex3]x1=p-m=r1r2r3...ra-2q1q2q3...qb=r1r2...r(r3..ra-2q1q5...qb)[/tex3] ou algo do tipo.
Mas EXISTE m tal que p e m serão primos entre si. E não vamos poder fatorar. Por isto este número é primo.
Temos que provar que para qualquer [tex3]p \in \mathbb{N}[/tex3] [tex3]p>1[/tex3] existe um [tex3]m \in \mathbb{N}[/tex3] com [tex3]m < p[/tex3] .
Primeiro vamos resolver a equação e perceber como são as raízes.
Anteriormente eu fiz isto e encontrei as seguintes soluções: [tex3]x1= p-m[/tex3] e [tex3]x2=p+m[/tex3] .
Para que [tex3]x1[/tex3] e [tex3]x2[/tex3] sejam primos temos que p é par ou m é par pq...
impar + impar = par
par + par = par
IMPAR + PAR = IMPAR.
Vamos escrever os números como multiplicação de números primos. (Faremos m par, mas podemos escolher p par sem perda)
[tex3]p=r1r2r3...ra[/tex3] e [tex3]m=2q1q2q3...qb[/tex3] com [tex3]b<a[/tex3] .Portanto o número 2 é o único primo que temos certeza de ser usado.
Vamos estudar a solução:
Se p e m são primos entre si alguns rs são iguais a uns qs e teremos [tex3]x1=p-m=r1r2r3...ra-2q1q2q3...qb=r1r2...r(r3..ra-2q1q5...qb)[/tex3] ou algo do tipo.
Mas EXISTE m tal que p e m serão primos entre si. E não vamos poder fatorar. Por isto este número é primo.
Última edição: Loexdramorama (Dom 29 Mai, 2016 01:04). Total de 1 vez.
Out 2017
15
19:21
Re: Equação do 2° e Números Primos
*No penúltimo paragrafo vc esqueceu de colocar um "não" antes de "são primos". Atrapalha um pouco quando vc lê rapidamente.
Seu último resultado está incorreto, quando vc afirma que se p e m são primos entre si, então sua diferença não pode ser fatorada. Um exemplo simples é 17 e 8, que são primos entre si, mas sua diferença, 9, não é primo.
Seu último resultado está incorreto, quando vc afirma que se p e m são primos entre si, então sua diferença não pode ser fatorada. Um exemplo simples é 17 e 8, que são primos entre si, mas sua diferença, 9, não é primo.
Mai 2019
22
12:08
Re: Equação do 2° e Números Primos
Resolver este problema é o mesmo que resolver a conjectura de Goldbach. '-'
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