Ensino Superior ⇒ Integral dupla

[atila]

Como eu resolvo a seguinte integral:
[tex3]\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{-x}^{0}f(x,y)dydx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{-x}^{0}f(x,y)dydx[/tex3]

Quando f(x,y)=[tex3]\frac{(xy+y^{2})}{(y+\pi)^{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{(xy+y^{2})}{(y+\pi)^{2}}[/tex3]

*sin([tex3]\frac{-y^{2}}{\pi }[/tex3]

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[tex3]\frac{-y^{2}}{\pi }[/tex3]

)

[minkowski]

*Resolvi apenas a parte de x, mas a parte de y tá dificil.
Mudando a ordem de integração temos:
[tex3]\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{-x}^{0}f(x,y)dydx = \int\limits_{-\pi}^{0}\int\limits_{-y}^{\pi}f(x,y)dxdy[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{-x}^{0}f(x,y)dydx = \int\limits_{-\pi}^{0}\int\limits_{-y}^{\pi}f(x,y)dxdy[/tex3]

*Desenhando a região de integração fica mais fácil ver essa mudança.
Definimos uma nova função para simplificar:
[tex3]g(y) = \frac{y}{(y+\pi)^{2}}*sin(\frac{-y^{2}}{\pi })[/tex3]

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[tex3]g(y) = \frac{y}{(y+\pi)^{2}}*sin(\frac{-y^{2}}{\pi })[/tex3]

Vemos que f(x,y) pode ser escrita como:
[tex3]f(x,y) = g(y)(x + y)[/tex3]

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[tex3]f(x,y) = g(y)(x + y)[/tex3]

Então integramos:
[tex3]\int\limits_{-\pi}^{0}\int\limits_{-y}^{\pi}g(y)(x+y)dxdy = \int\limits_{-\pi}^{0}g(y)[(\frac{x^2}{2}+xy)]\limits_{-y}^{\pi}dy = \int\limits_{-\pi}^{0}g(y)[(\frac{\pi^2}{2}+\pi y - \frac{y^2}{2}+y^2)]dy = = \int\limits_{-\pi}^{0}g(y)[(\frac{\pi^2}{2}+\pi y + \frac{y^2}{2})]dy[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{-\pi}^{0}\int\limits_{-y}^{\pi}g(y)(x+y)dxdy = \int\limits_{-\pi}^{0}g(y)[(\frac{x^2}{2}+xy)]\limits_{-y}^{\pi}dy = \int\limits_{-\pi}^{0}g(y)[(\frac{\pi^2}{2}+\pi y - \frac{y^2}{2}+y^2)]dy = = \int\limits_{-\pi}^{0}g(y)[(\frac{\pi^2}{2}+\pi y + \frac{y^2}{2})]dy[/tex3]