Ensino Superior

julilinnn57

Encontre a Solução Geral e a Particular da seguinte equação pelo método dos coeficientes a determinar.
y''-5y'+6y=78sen(3x) y(0)=0 e y'(0)=1

Já encontrei o y=ACos(3x)+BSen(3x) e derivando encontrei o y'=-3ASen(3x)+3BCos(3x), y''=-9ACos(3x)-9BSen(3x) também. O problema é na hora de igualar todos eles na equação acima, ir simplificando e assim encontrar o A e B.

Observe

Solução

A solução geral é dada por [tex3]y(x)=y_{A}+y_{P}[/tex3]

Vamos calcular primeiramente a solução auxiliar, vem;

r² - 5r + 6 = 0 ( [tex3]r_{1}=3 \ , \ r_{2}=2[/tex3] )

Daí,

[tex3]y_{A}=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}[/tex3]

Logo,

[tex3]y_{A}=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{2x}[/tex3] → solução auxiliar

Vamos determinar agora a solução particular, temos;

[tex3]y_{P}=A.cos (3x)+B.sen(3x) \ (I)[/tex3]

Derivando...

[tex3]y'_{P}=-3A.sen (3x)+3B.cos(3x) \ (II)[/tex3]

Derivando mais uma vez...

[tex3]y''_{P}=-9A.cos (3x)-9B.sen(3x) \ (III)[/tex3]

Substituindo ( I ) , ( I I ) e ( I I I ) em y'' - 5y' + 6y = 78.sen (3x) , fica;

[tex3]-9A.cos(3x)-9B.sen(3x)+15A.sen(3x)-15B.cos(3x)+6A.cos(3x)+6B.sen(3x)=78.sen(3x)[/tex3]

[tex3](-3A-15B).cos (3x)+(15A-3B).sen (3x)=0.cos(3x)+78.sen(3x)[/tex3]

Comparando os termos, resulta no seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
-3A-15B=0→A=-5B→A=5 \\
15A-3B=78→-75B-3B=78→B=-1
\end{cases}[/tex3]

Então temos a seguinte solução particular :

[tex3]y_{P}=5.cos (3x)-sen(3x)[/tex3]

Assim, a "solução geral" é :

[tex3]y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{2x}+5.cos (3x)-sen(3x) \ ( IV )[/tex3]

Porém, o autor fornece os seguintes valores iniciais y( 0 ) = 0 e y'( 0 ) = 1 , substituindo esses valores em ( IV ) , vem;

[tex3]y(0)=C_{1}e^{3.0}+C_{2}e^{2.0}+5.cos (3.0)-sen(3.0)[/tex3]

[tex3]0=C_{1}+C_{2}+5[/tex3]

[tex3]C_{1}+C_{2}=-5 \ (1)[/tex3]

Por outro lado,

[tex3]y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{2x}+5.cos (3x)-sen(3x)[/tex3]

Derivando...

[tex3]y'(x)=3C_{1}e^{3x}+2C_{2}e^{2x}-15.sen (3x)-3cos(3x)[/tex3]

Então,

[tex3]y'(0)=3C_{1}e^{3.0}+2C_{2}e^{2.0}-15.sen (3.0)-3cos(3.0)[/tex3]

[tex3]1=3C_{1}+2C_{2}-3[/tex3]

[tex3]3C_{1}+2C_{2}=4 \ (2)[/tex3]

De ( 1 ) e ( 2 ) , temos o seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
C_{1}+C_{2}=-5 \\
3C_{1}+2C_{2}=4
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
-3C_{1}-3C_{2}=15 \\
3C_{1}+2C_{2}=4
\end{cases}[/tex3]
-------------------------------------
[tex3]-C_{2}=19→C_{2}=-19[/tex3]

Substituindo [tex3]C_{2}=-19[/tex3] em ( 1 ), fica;

[tex3]C_{1}-19=-5[/tex3]

[tex3]C_{1}=14[/tex3]

Portanto, a solução geral com as condições iniciais dada vale [tex3]y(x)=14e^{3x}-19e^{2x}+5.cos (3x)-sen(3x)[/tex3]

Bons estudos!

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