Ensino Superior ⇒ EDO - Metodo Variação de Parâmetros Tópico resolvido

[EANDRIOLI]

Bom dia amigos,

Alguém teria a resolução do exercício 20 da seção 3.7 do Boyce e Diprima?

Ela se parece com isso:

No problema abaixo:
a) veri que se as funções y1(t) e y2(t) satisfazem a EDO homogênea associada.
b) encontre uma solução particular da EDO t^2y''+ty'+(t^2-(1/4)y=3t^(3/2) sen t onde t > 0 via o método de variação de parametros.

y1(t)=t^(-1/2) sen t
y2(t)=t^(-1/2) cos t

Abraços amigos,

ERASMO

[Cardoso1979]

Observe

A questão a qual você se refere é na realidade da seção 3.6 exercício 20 ( pelo menos é o que está na 10° edição )

A pergunta é:

Verifique se as funções dadas [tex3]y_{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y_{1}[/tex3]

e [tex3]y_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y_{2}[/tex3]

satisfazem a equação homogênea associada ; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos problemas 19 e 20 , g é uma função contínua arbitrária.

20. x²y'' + xy' + ( x² - 0,25 )y = g( x ) , x > 0 ;
[tex3]y_{1}=x^{-\frac{1}{2}}.sen (x)[/tex3]

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[tex3]y_{1}=x^{-\frac{1}{2}}.sen (x)[/tex3]

, [tex3]y_{2}=x^{-\frac{1}{2}}.cos (x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y_{2}=x^{-\frac{1}{2}}.cos (x)[/tex3]

.


Solução:

Primeiro escreva a equação na forma padrão. A "função de forçar" se torna [tex3]\frac{g(x)}{x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{g(x)}{x^2}[/tex3]

. As funções [tex3]y_{1}=x^{-\frac{1}{2}}.sen (x)[/tex3]

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[tex3]y_{1}=x^{-\frac{1}{2}}.sen (x)[/tex3]

e funções [tex3]y_{2}=x^{-\frac{1}{2}}.cos (x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y_{2}=x^{-\frac{1}{2}}.cos (x)[/tex3]

são um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada. O Wronskiano das soluções é [tex3]W(y_{1},y_{2})=-\frac{1}{x}[/tex3]

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[tex3]W(y_{1},y_{2})=-\frac{1}{x}[/tex3]

. Usando o método variação de parâmetros, uma solução particular da equação não homogênea é:

[tex3]Y(x)=u_{1}(x).y_{1}(x)+u_{2}(x).y_{2}(x)[/tex3]

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[tex3]Y(x)=u_{1}(x).y_{1}(x)+u_{2}(x).y_{2}(x)[/tex3]

,

no qual

[tex3]u_{1}(x)=\int\limits_{}^{x}\frac{cos (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt[/tex3]

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[tex3]u_{1}(x)=\int\limits_{}^{x}\frac{cos (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt[/tex3]

, [tex3]u_{2}(x)=-\int\limits_{}^{x}\frac{sen (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt[/tex3]

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[tex3]u_{2}(x)=-\int\limits_{}^{x}\frac{sen (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt[/tex3]

Assim,


[tex3]Y(x)=\frac{sen (x)}{\sqrt{x}}.\int\limits_{}^{x}\frac{cos (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt-\frac{cos (x)}{\sqrt{x}}.\int\limits_{}^{x}\frac{sen (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Y(x)=\frac{sen (x)}{\sqrt{x}}.\int\limits_{}^{x}\frac{cos (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt-\frac{cos (x)}{\sqrt{x}}.\int\limits_{}^{x}\frac{sen (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt[/tex3]

Portanto,

[tex3]Y(x)=x^{-\frac{1}{2}}.\int\limits_{}^{x}t^{-\frac{3}{2}}sen (x-t)g(t)dt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Y(x)=x^{-\frac{1}{2}}.\int\limits_{}^{x}t^{-\frac{3}{2}}sen (x-t)g(t)dt[/tex3]

Nota

Esta questão questão que você postou:

No problema abaixo:
a) verifique se as funções y1(t) e y2(t) satisfazem a EDO homogênea associada.
b) encontre uma solução particular da EDO t^2y''+ty'+(t^2-(1/4)y=3t^(3/2) sen t onde t > 0 via o método de variação de parametros.

y1(t)=t^(-1/2) sen t
y2(t)=t^(-1/2) cos t


corresponde aqui no livro ( 10 edição ) como sendo a 18.




Bons estudos!