Bom dia amigos,
Alguém teria a resolução do exercício 20 da seção 3.7 do Boyce e Diprima?
Ela se parece com isso:
No problema abaixo:
a) veri que se as funções y1(t) e y2(t) satisfazem a EDO homogênea associada.
b) encontre uma solução particular da EDO t^2y''+ty'+(t^2-(1/4)y=3t^(3/2) sen t onde t > 0 via o método de variação de parametros.
y1(t)=t^(-1/2) sen t
y2(t)=t^(-1/2) cos t
Abraços amigos,
ERASMO
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ EDO - Metodo Variação de Parâmetros Tópico resolvido
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Cardoso1979
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Abr 2020
18
21:14
Re: EDO - Metodo Variação de Parâmetros
Observe
A questão a qual você se refere é na realidade da seção 3.6 exercício 20 ( pelo menos é o que está na 10° edição )
A pergunta é:
Verifique se as funções dadas [tex3]y_{1}[/tex3] e [tex3]y_{2}[/tex3] satisfazem a equação homogênea associada ; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos problemas 19 e 20 , g é uma função contínua arbitrária.
20. x²y'' + xy' + ( x² - 0,25 )y = g( x ) , x > 0 ;
[tex3]y_{1}=x^{-\frac{1}{2}}.sen (x)[/tex3] , [tex3]y_{2}=x^{-\frac{1}{2}}.cos (x)[/tex3] .
Solução:
Primeiro escreva a equação na forma padrão. A "função de forçar" se torna [tex3]\frac{g(x)}{x^2}[/tex3] . As funções [tex3]y_{1}=x^{-\frac{1}{2}}.sen (x)[/tex3] e funções [tex3]y_{2}=x^{-\frac{1}{2}}.cos (x)[/tex3] são um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada. O Wronskiano das soluções é [tex3]W(y_{1},y_{2})=-\frac{1}{x}[/tex3] . Usando o método variação de parâmetros, uma solução particular da equação não homogênea é:
[tex3]Y(x)=u_{1}(x).y_{1}(x)+u_{2}(x).y_{2}(x)[/tex3] ,
no qual
[tex3]u_{1}(x)=\int\limits_{}^{x}\frac{cos (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt[/tex3] , [tex3]u_{2}(x)=-\int\limits_{}^{x}\frac{sen (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt[/tex3]
Assim,
[tex3]Y(x)=\frac{sen (x)}{\sqrt{x}}.\int\limits_{}^{x}\frac{cos (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt-\frac{cos (x)}{\sqrt{x}}.\int\limits_{}^{x}\frac{sen (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt[/tex3]
Portanto,
[tex3]Y(x)=x^{-\frac{1}{2}}.\int\limits_{}^{x}t^{-\frac{3}{2}}sen (x-t)g(t)dt[/tex3]
Nota
Esta questão questão que você postou:
No problema abaixo:
a) verifique se as funções y1(t) e y2(t) satisfazem a EDO homogênea associada.
b) encontre uma solução particular da EDO t^2y''+ty'+(t^2-(1/4)y=3t^(3/2) sen t onde t > 0 via o método de variação de parametros.
y1(t)=t^(-1/2) sen t
y2(t)=t^(-1/2) cos t
corresponde aqui no livro ( 10 edição ) como sendo a 18.
Bons estudos!
A questão a qual você se refere é na realidade da seção 3.6 exercício 20 ( pelo menos é o que está na 10° edição )
A pergunta é:
Verifique se as funções dadas [tex3]y_{1}[/tex3] e [tex3]y_{2}[/tex3] satisfazem a equação homogênea associada ; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos problemas 19 e 20 , g é uma função contínua arbitrária.
20. x²y'' + xy' + ( x² - 0,25 )y = g( x ) , x > 0 ;
[tex3]y_{1}=x^{-\frac{1}{2}}.sen (x)[/tex3] , [tex3]y_{2}=x^{-\frac{1}{2}}.cos (x)[/tex3] .
Solução:
Primeiro escreva a equação na forma padrão. A "função de forçar" se torna [tex3]\frac{g(x)}{x^2}[/tex3] . As funções [tex3]y_{1}=x^{-\frac{1}{2}}.sen (x)[/tex3] e funções [tex3]y_{2}=x^{-\frac{1}{2}}.cos (x)[/tex3] são um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada. O Wronskiano das soluções é [tex3]W(y_{1},y_{2})=-\frac{1}{x}[/tex3] . Usando o método variação de parâmetros, uma solução particular da equação não homogênea é:
[tex3]Y(x)=u_{1}(x).y_{1}(x)+u_{2}(x).y_{2}(x)[/tex3] ,
no qual
[tex3]u_{1}(x)=\int\limits_{}^{x}\frac{cos (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt[/tex3] , [tex3]u_{2}(x)=-\int\limits_{}^{x}\frac{sen (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt[/tex3]
Assim,
[tex3]Y(x)=\frac{sen (x)}{\sqrt{x}}.\int\limits_{}^{x}\frac{cos (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt-\frac{cos (x)}{\sqrt{x}}.\int\limits_{}^{x}\frac{sen (t)(g(t))}{t\sqrt{t}}dt[/tex3]
Portanto,
[tex3]Y(x)=x^{-\frac{1}{2}}.\int\limits_{}^{x}t^{-\frac{3}{2}}sen (x-t)g(t)dt[/tex3]
Nota
Esta questão questão que você postou:
No problema abaixo:
a) verifique se as funções y1(t) e y2(t) satisfazem a EDO homogênea associada.
b) encontre uma solução particular da EDO t^2y''+ty'+(t^2-(1/4)y=3t^(3/2) sen t onde t > 0 via o método de variação de parametros.
y1(t)=t^(-1/2) sen t
y2(t)=t^(-1/2) cos t
corresponde aqui no livro ( 10 edição ) como sendo a 18.
Bons estudos!
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