Ensino Superior ⇒ Resolução de Integral Tópico resolvido

[Lima095]

[tex3]\int\limits_{}^{}sec^-1(\sqrt{x})dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}sec^-1(\sqrt{x})dx[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]\int\limits_{}^{}arc \ sec(\sqrt{x} ) \ dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}arc \ sec(\sqrt{x} ) \ dx[/tex3]

Vamos usar a técnica de integração por partes, temos que

[tex3]\int\limits_{}^{} u \ dv = u.v - \int\limits_{}^{}v \ du[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{} u \ dv = u.v - \int\limits_{}^{}v \ du[/tex3]

u = arc sec ( √x ) → du = dx/[ 2x√( x - 1 ) ]

e

dv = 1 dx → [tex3]\int\limits_{}^{}dv = \int\limits_{}^{} dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}dv = \int\limits_{}^{} dx[/tex3]

→ v = x

Assim,

[tex3]\int\limits_{}^{}arc \ sec(\sqrt{x} ) \ dx = arc \ sec (\sqrt{x} ).x - \int\limits_{}^{}\frac{xdx}{2x\sqrt{x-1}}[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}arc \ sec(\sqrt{x} ) \ dx = arc \ sec (\sqrt{x} ).x - \int\limits_{}^{}\frac{xdx}{2x\sqrt{x-1}}[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}arc \ sec(\sqrt{x} ) \ dx = x.arc \ sec (\sqrt{x} ) - \frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x-1}} \ dx [/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}arc \ sec(\sqrt{x} ) \ dx = x.arc \ sec (\sqrt{x} ) - \frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x-1}} \ dx [/tex3]

Para resolver a integral [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x-1}} \ dx [/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x-1}} \ dx [/tex3]

usaremos a seguinte substituição:

t = x - 1 → dt = dx

Daí,

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{\sqrt{t}} \ dt [/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{\sqrt{t}} \ dt [/tex3]

= 2√t = 2√( x - 1 ) + c

Então,

[tex3]\int\limits_{}^{}arc \ sec(\sqrt{x} ) \ dx = x.arc \ sec (\sqrt{x} ) - \frac{1}{2}.2\sqrt{x - 1} + C [/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}arc \ sec(\sqrt{x} ) \ dx = x.arc \ sec (\sqrt{x} ) - \frac{1}{2}.2\sqrt{x - 1} + C [/tex3]

Portanto,

[tex3]\int\limits_{}^{}arc \ sec(\sqrt{x} ) \ dx [/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}arc \ sec(\sqrt{x} ) \ dx [/tex3]

= x.arc sec ( √x ) - √( x - 1 ) + C.


Excelente estudo!