Ensino Superior ⇒ Resolução de Integral Tópico resolvido

[Lima095]

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{x/x-1}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{x/x-1}dx[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{\frac{ x }{ x - 1 }}dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{\frac{ x }{ x - 1 }}dx[/tex3]

Uma solução:

Fazendo a seguinte substituição ( você pode usar outras substituições, eu achei essa mais prática, na minha opinião )

u = x/( x - 1 ) → du = - [tex3]\frac{1}{( x - 1 )^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{( x - 1 )^2}[/tex3]

dx → dx = - ( x - 1 )² dx

Por outro lado,

u = x/( x - 1 ) → ux - u - x = 0 → x = u/( u - 1 ) → x - 1 = [ u/( u - 1 ) ] - 1 → ( x - 1 )² = [tex3]\frac{1}{( u - 1 )^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{( u - 1 )^2}[/tex3]

.

Assim,

[tex3]- \int\limits_{}^{}\sqrt{u} \ .( x - 1 )^2 du = [/tex3]

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[tex3]- \int\limits_{}^{}\sqrt{u} \ .( x - 1 )^2 du = [/tex3]

[tex3]- \int\limits_{}^{} \frac{\sqrt{u}}{( u - 1 )^2 }du = [/tex3]

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[tex3]- \int\limits_{}^{} \frac{\sqrt{u}}{( u - 1 )^2 }du = [/tex3]

[tex3]- \int\limits_{}^{} \frac{\sqrt{u}}{ u^2 - 2u + 1 }du [/tex3]

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[tex3]- \int\limits_{}^{} \frac{\sqrt{u}}{ u^2 - 2u + 1 }du [/tex3]

Fazendo a substituição,

v = √u → du = 2√(u) dv

e

u = v² → u² = v⁴ ,

segue que;

[tex3]- \int\limits_{}^{} \frac{\sqrt{u}}{ v^4 - 2v^2 + 1 }.2\sqrt{u} \ dv = [/tex3]

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[tex3]- \int\limits_{}^{} \frac{\sqrt{u}}{ v^4 - 2v^2 + 1 }.2\sqrt{u} \ dv = [/tex3]

[tex3]- 2. \int\limits_{}^{} \frac{ u }{ v^4 - 2v^2 + 1 } \ dv = [/tex3]

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[tex3]- 2. \int\limits_{}^{} \frac{ u }{ v^4 - 2v^2 + 1 } \ dv = [/tex3]

[tex3]- 2. \int\limits_{}^{} \frac{ v^2 }{ v^4 - 2v^2 + 1 } \ dv = [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]- 2. \int\limits_{}^{} \frac{ v^2 }{ v^4 - 2v^2 + 1 } \ dv = [/tex3]

[tex3]- 2. \int\limits_{}^{} \frac{ v^2 }{ ( v - 1 )^2.( v + 1 )^2 } \ dv = [/tex3]

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[tex3]- 2. \int\limits_{}^{} \frac{ v^2 }{ ( v - 1 )^2.( v + 1 )^2 } \ dv = [/tex3]

Utilizando frações parciais, obtemos:

[tex3]- 2. \left( - \frac{1}{4}\right).\int\limits_{}^{} \frac{ 1 }{ v + 1 } \ dv - 2. \left( \frac{1}{4}\right).\int\limits_{}^{} \frac{ 1 }{ ( v + 1 )^2 } \ dv - 2. \left( \frac{1}{4}\right).\int\limits_{}^{} \frac{ 1 }{ v - 1 } \ dv - 2. \left( \frac{1}{4}\right).\int\limits_{}^{} \frac{ 1 }{ ( v - 1 )^2 } \ dv = [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]- 2. \left( - \frac{1}{4}\right).\int\limits_{}^{} \frac{ 1 }{ v + 1 } \ dv - 2. \left( \frac{1}{4}\right).\int\limits_{}^{} \frac{ 1 }{ ( v + 1 )^2 } \ dv - 2. \left( \frac{1}{4}\right).\int\limits_{}^{} \frac{ 1 }{ v - 1 } \ dv - 2. \left( \frac{1}{4}\right).\int\limits_{}^{} \frac{ 1 }{ ( v - 1 )^2 } \ dv = [/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\left( ln| v + 1 | + \frac{ 1 }{ v + 1 } - ln| v - 1 | + \frac{ 1 }{ v - 1 }\right) + C [/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}.\left( ln| v + 1 | + \frac{ 1 }{ v + 1 } - ln| v - 1 | + \frac{ 1 }{ v - 1 }\right) + C [/tex3]

Como v = √u , vem;

[tex3]\frac{1}{2}.\left( ln| √(u) + 1 | + \frac{ 1 }{ √(u) + 1 } - ln| √(u) - 1 | + \frac{ 1 }{ √(u) - 1 }\right) + C [/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}.\left( ln| √(u) + 1 | + \frac{ 1 }{ √(u) + 1 } - ln| √(u) - 1 | + \frac{ 1 }{ √(u) - 1 }\right) + C [/tex3]

Mas , u = x/( x - 1 ) , logo

[tex3]\frac{1}{2}.\left( ln\left| \sqrt{\frac{x}{x - 1}} + 1 \right|+ \frac{ 1 }{ \sqrt{\frac{x}{x - 1}} + 1 } - ln\left| \sqrt{\frac{x}{ x - 1}} - 1 \right| + \frac{ 1 }{ \sqrt{\frac{x}{ x - 1}} - 1 }\right) + C [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\left( ln\left| \sqrt{\frac{x}{x - 1}} + 1 \right|+ \frac{ 1 }{ \sqrt{\frac{x}{x - 1}} + 1 } - ln\left| \sqrt{\frac{x}{ x - 1}} - 1 \right| + \frac{ 1 }{ \sqrt{\frac{x}{ x - 1}} - 1 }\right) + C [/tex3]

Portanto,

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{\frac{ x }{ x - 1 }}dx = \frac{1}{2}.\left( ln\left| \sqrt{\frac{x}{x - 1}} + 1 \right|+ \frac{ 1 }{ \sqrt{\frac{x}{x - 1}} + 1 } - ln\left| \sqrt{\frac{x}{ x - 1}} - 1 \right| + \frac{ 1 }{ \sqrt{\frac{x}{ x - 1}} - 1 }\right) + C [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{\frac{ x }{ x - 1 }}dx = \frac{1}{2}.\left( ln\left| \sqrt{\frac{x}{x - 1}} + 1 \right|+ \frac{ 1 }{ \sqrt{\frac{x}{x - 1}} + 1 } - ln\left| \sqrt{\frac{x}{ x - 1}} - 1 \right| + \frac{ 1 }{ \sqrt{\frac{x}{ x - 1}} - 1 }\right) + C [/tex3]

Obs.1 Existem várias maneiras de interpretar essa mesma resposta ( efetuando manipulações algebricas ) , como eu não sei o gabarito do autor ( livro ) , então deixarei como está!

Obs.2 Eu omiti algumas passagens, deixando como exercício para o leitor. Meu ponto de vista, é que o leitor também tem que se esforçar e correr atrás , não pegando tudo na


Excelente estudo!

[Cardoso1979]

Ah! Esqueci, mais um usuário que teve todas as suas perguntas resolvidas


Excelente estudo!