Ensino Superior ⇒ Derivadas Tópico resolvido

[Brunojasp]

Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = a [tex3]x^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}[/tex3]

, ( a [tex3]\neq[/tex3]

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[tex3]\neq[/tex3]

0) tem como interseção um ponto que está numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Seja [tex3]P_{1}(x_{1},ax_{1}^2)[/tex3]

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[tex3]P_{1}(x_{1},ax_{1}^2)[/tex3]

e [tex3]P_{2}(x_{2},ax_{2}^2)[/tex3]

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[tex3]P_{2}(x_{2},ax_{2}^2)[/tex3]

os pontos de tangência. y' = 2ax , de modo que as retas tangentes em [tex3]P_{1}[/tex3]

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[tex3]P_{1}[/tex3]

e [tex3]P_{2}[/tex3]

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[tex3]P_{2}[/tex3]

são [tex3]y-ax_{1}^2=2ax_{1}(x-x_{1}) \ (I)[/tex3]

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[tex3]y-ax_{1}^2=2ax_{1}(x-x_{1}) \ (I)[/tex3]

e [tex3]y-ax_{2}^2=2ax_{2}(x-x_{2}) \ (II)[/tex3]

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[tex3]y-ax_{2}^2=2ax_{2}(x-x_{2}) \ (II)[/tex3]

. De ( I ) e ( I I ) resulta que [tex3]x=\frac{1}{2}(x_{1}+x_{2})[/tex3]

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[tex3]x=\frac{1}{2}(x_{1}+x_{2})[/tex3]

, que é a coordenada x de um ponto na reta vertical passando pelo ponto médio entre [tex3]P_{1}[/tex3]

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[tex3]P_{1}[/tex3]

e [tex3]P_{2}[/tex3]

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[tex3]P_{2}[/tex3]

. C.q.m.


Bons estudos!