Ensino Superior ⇒ Séries convergente e divergentes Tópico resolvido

[Helberson]

Use os testes e explique se as séries abaixo convergem ou divergem

A) 1+1/3+1/5+1/7+...

B) 1/2+1/4+1/10+1/28+...

[Cardoso1979]

Use os testes e explique se as séries abaixo convergem ou divergem

A) [tex3]1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...[/tex3]

Observe

Uma solução ( teste da integral ):

Temos,

[tex3]1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+... = \sum_{n=1}^{∞}\frac{1}{2n - 1}[/tex3]

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[tex3]1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+... = \sum_{n=1}^{∞}\frac{1}{2n - 1}[/tex3]

.

A série [tex3]\sum_{n=1}^{∞}\frac{1}{2n - 1}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{∞}\frac{1}{2n - 1}[/tex3]

é uma série com termos positivos , e [tex3]f( x ) = \frac{1}{2x - 1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f( x ) = \frac{1}{2x - 1}[/tex3]

é uma função decrescente e contínua no intervalo [ 1 , + ∞ ) , logo podemos aplicar o teste da integral, vem;

[tex3]\int\limits_{1}^{+∞}\frac{1}{2x - 1}dx = [/tex3]

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[tex3]\int\limits_{1}^{+∞}\frac{1}{2x - 1}dx = [/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow + \infty}\int\limits_{1}^{t}\frac{1}{2x - 1}dx = [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{t \rightarrow + \infty}\int\limits_{1}^{t}\frac{1}{2x - 1}dx = [/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow + \infty}\left[\frac{1}{2}.ln| 2x - 1 |\right]_{1}^{t} = [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{t \rightarrow + \infty}\left[\frac{1}{2}.ln| 2x - 1 |\right]_{1}^{t} = [/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\lim_{t \rightarrow + \infty} [ ln ( 2t - 1 ) - 0]= \frac{1}{2}.( + ∞ ) = + ∞[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\lim_{t \rightarrow + \infty} [ ln ( 2t - 1 ) - 0]= \frac{1}{2}.( + ∞ ) = + ∞[/tex3]

Como a integral [tex3]\int\limits_{1}^{+∞}\frac{1}{2x - 1}dx [/tex3]

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[tex3]\int\limits_{1}^{+∞}\frac{1}{2x - 1}dx [/tex3]

diverge , portanto a série [tex3]\sum_{n=1}^{∞}\frac{1}{2n - 1}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{∞}\frac{1}{2n - 1}[/tex3]

também diverge!

Obs.

A B) ficará como exercício para você




Excelente estudo!