Ensino Superior ⇒ Gradiente e Taxa de Variação

[mateuspos]

Determine o gradiente de f em Po e a taxa de variacao dos valores da função na direcao e sentido de U em Po, sendo:

f(x,y) = 3x² - 2xy³

U = cos 1/6 . 3.14 + sen 1/6 . 3.14

Po = (-3,1)

Quem puder ajudar agredeço muito!

[Karl Weierstrass]

Determine o gradiente de [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

em [tex3]P_0[/tex3]

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[tex3]P_0[/tex3]

e a taxa de variação dos valores da função na direção e sentido de [tex3]\vec{u}[/tex3]

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[tex3]\vec{u}[/tex3]

em [tex3]P_0[/tex3]

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[tex3]P_0[/tex3]

, sendo:

[tex3]f(x,y) = 3x^2 - 2xy^3[/tex3]

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[tex3]f(x,y) = 3x^2 - 2xy^3[/tex3]

[tex3]\vec{u} = \cos \frac{\pi}{6}\,\vec{i} + \text{sen}\,\frac{\pi}{6}\vec{j}[/tex3]

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[tex3]\vec{u} = \cos \frac{\pi}{6}\,\vec{i} + \text{sen}\,\frac{\pi}{6}\vec{j}[/tex3]

[tex3]P_0 = (-3,\,1)[/tex3]

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[tex3]P_0 = (-3,\,1)[/tex3]

[tex3]\hspace{70}z=f(x\,y)[/tex3]

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[tex3]\hspace{70}z=f(x\,y)[/tex3]

[tex3]\hspace{70}\vec{u} = \cos \frac{\pi}{6}\,\vec{i} + \text{sen}\,\frac{\pi}{6}\vec{j}=\frac{\sqrt 3}{2}\,\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j}[/tex3]

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[tex3]\hspace{70}\vec{u} = \cos \frac{\pi}{6}\,\vec{i} + \text{sen}\,\frac{\pi}{6}\vec{j}=\frac{\sqrt 3}{2}\,\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j}[/tex3]

[tex3]\hspace{70}|\vec{u}|= \sqrt{\cos^2 \frac{\pi}{6} + \text{sen}^2\,\frac{\pi}{6}}=1\Longrightarrow \vec{u}[/tex3]

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[tex3]\hspace{70}|\vec{u}|= \sqrt{\cos^2 \frac{\pi}{6} + \text{sen}^2\,\frac{\pi}{6}}=1\Longrightarrow \vec{u}[/tex3]

é unitário.

[tex3]\hspace{70}\nabla z=\frac{\part z}{\part x}\,\vec{\,i}+\frac{\part z}{\part y}\,\vec{j}[/tex3]

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[tex3]\hspace{70}\nabla z=\frac{\part z}{\part x}\,\vec{\,i}+\frac{\part z}{\part y}\,\vec{j}[/tex3]

[tex3]\hspace{70}\frac{\part z}{\part x}=6x-2y^3[/tex3]

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[tex3]\hspace{70}\frac{\part z}{\part x}=6x-2y^3[/tex3]

[tex3]\hspace{70}\frac{\part z}{\part y}=-6xy^2[/tex3]

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[tex3]\hspace{70}\frac{\part z}{\part y}=-6xy^2[/tex3]

[tex3]\hspace{70}\nabla z=(3x^2 - 2xy^3)\vec{\,i}+(-6xy^2)\vec{j}[/tex3]

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[tex3]\hspace{70}\nabla z=(3x^2 - 2xy^3)\vec{\,i}+(-6xy^2)\vec{j}[/tex3]

[tex3]\hspace{70}\nabla f(-3,\,1)=[3(-3)^2 - 2\cdot(-3)\cdot1^3]\vec{\,i}+[-6\cdot(-3)\cdot 1^2]\vec{j}\Longrightarrow \boxed{\nabla f(-3,\,1)=33\vec{\,i}+18\vec{j}}[/tex3]

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[tex3]\hspace{70}\nabla f(-3,\,1)=[3(-3)^2 - 2\cdot(-3)\cdot1^3]\vec{\,i}+[-6\cdot(-3)\cdot 1^2]\vec{j}\Longrightarrow \boxed{\nabla f(-3,\,1)=33\vec{\,i}+18\vec{j}}[/tex3]

[tex3]\hspace{70}D_{\vec{u}}z=\vec{u}\cdot\nabla z[/tex3]

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[tex3]\hspace{70}D_{\vec{u}}z=\vec{u}\cdot\nabla z[/tex3]

[tex3]\hspace{70}D_{\vec{u}}z=\left(\frac{\sqrt 3}{2}\,\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j}\right)\cdot (33\vec{\,i}+18\vec{j})[/tex3]

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[tex3]\hspace{70}D_{\vec{u}}z=\left(\frac{\sqrt 3}{2}\,\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j}\right)\cdot (33\vec{\,i}+18\vec{j})[/tex3]

[tex3]\hspace{70}\boxed{D_{\vec{u}}z=\frac{33\sqrt 3}{2}+9\approx 37,58}[/tex3]

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[tex3]\hspace{70}\boxed{D_{\vec{u}}z=\frac{33\sqrt 3}{2}+9\approx 37,58}[/tex3]

Talvez tenha demorado para ser resolvido pelo trabalho extra de "traduzir" o enunciado.

Veja como digitar equações aqui.

Abraço.




[tex3]\,[/tex3]

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[tex3]\,[/tex3]