Ensino SuperiorDerivação Implícita Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
micro
2 - Nerd
Mensagens: 637
Registrado em: Dom 11 Dez, 2011 13:44
Última visita: 31-05-19
Localização: sp
Jun 2013 15 20:39

Derivação Implícita

Mensagem não lida por micro »

Suponha que y=f(x) seja uma função derivável dada implicitamente pela equaçãoy^3+2xy^2+x=4 Suponha que [tex3]1\in D_f[/tex3]

a) Calcule f(1)

b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1

Última edição: micro (Sáb 15 Jun, 2013 20:39). Total de 1 vez.


estou muito triste, estou deprimido. odeio matemática porque tenho muita dificuldade. "Estudar com ódio até meus dedos sangrarem de tanto fazer exercício, eis o caminho para a libertação"

Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 4008
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 04-04-23
Localização: Teresina- PI
Fev 2020 17 22:41

Re: Derivação Implícita

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Solução:

a) Se y³ + 2xy² + x = 4 , para calcular f( 1 ) , vamos substituir x por 1 , para encontrar o y que corresponde a f( 1 ), vem;

y³ + 2xy² + x = 4

y³ + 2.1.y² + 1 = 4

y³ + 2y² + 1 - 4 = 0

y³ + 2y² - 3 = 0

A única solução para essa equação é y = 1, logo , f( 1 ) = 1.




b) Para determinar a reta tangente, podemos utilizar a seguinte fórmula:

[tex3]y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})[/tex3]

Onde , [tex3]y_{0}=f(x_{0})[/tex3] .

Temos que, [tex3]x_{0}=1[/tex3] e [tex3]y_{0}=1[/tex3] devemos então calcular f'( 1 ). Derivando implicitamente a função dada em relação a x ( Obs. derivada de y é f'( x ) ) , temos que

( y³ )' + ( 2xy² )' + x' = 4'

3y².y' + 2.[ x'.y² + x.( y² )' ] + 1 = 0

3y².y' + 2( y² + x.2y.y' ) + 1 = 0

3y².y' + 2y² + 4xy.y' + 1 = 0

Para [tex3]x_{0}=1[/tex3] e [tex3]y_{0}=1[/tex3] :

3.1².y' + 2.1² + 4.1.1.y' + 1 = 0

3y' + 2 + 4y' + 1 = 0

7y' = - 3

[tex3]y'=-\frac{3}{7}[/tex3]

Logo,

[tex3]f'(1)=-\frac{3}{7}[/tex3] .

Assim , retomando a fórmula [tex3]y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})[/tex3] , fica;

[tex3]y-1=-\frac{3}{7}(x-1)[/tex3]

Portanto, a equação da reta tangente é dada por [tex3]y-1=-\frac{3}{7}(x-1)[/tex3] .



Bons estudos!




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Superior”