Ensino Superior ⇒ Algebra Vetorial Tópico resolvido

[Thiers]

Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3,1,-2) e B(-1,2,1) e é paralelo à reta r: [tex3]\frac{x}{2} = \frac{z}{-3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{2} = \frac{z}{-3}[/tex3]

; y=4.

Resposta

---

[tex3]3x-12y+2z+25=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3x-12y+2z+25=0[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Eba!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com gabarito



Uma solução:

Analisando a reta r dada , temos que , um vetor diretor dela é

[tex3]\vec{v}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{v}[/tex3]

= ( 2 , 0 , - 3 ).

Obs. Se você não conseguir enxergar logo de "cara" , basta você atribuir valores arbitrários, para a reta r e encontrar dois pontos que pertençam a mesma e em seguida você determina o vetor diretor dela, por exemplo : para x = 0 → z = 0 , então ( 0 , 4 , 0 ). Agora, para x = - 2 → z = 3 , logo ( - 2 , 4 , 3 ).


Por outro lado, como o plano passa pelos pontos A( - 3 , 1 , - 2 ) e B( - 1 , 2 , 1 ) , podemos então encontrar um vetor pertencente a esse plano, temos:

[tex3]\vec{AB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AB}[/tex3]

= B - A = ( - 1 , 2 , 1 ) - ( - 3 , 1 , - 2 ) = ( 2 , 1 , 3 ).

Pronto! Basta lembrar agora que, como o plano a ser determinado é paralelo à reta r , então o vetor diretor da reta r ( [tex3]\vec{v}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{v}[/tex3]

= ( 2 , 0 , - 3 ) ) é também paralelo ao plano. Assim, tomando o ponto B( - 1 , 2 , 1 ) pertencente ao plano , teremos:


[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
x + 1 & y - 2 & z - 1 \\
2 & 0 & -3\\
2 & 1 & 3
\end{array} \right] = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
x + 1 & y - 2 & z - 1 \\
2 & 0 & -3\\
2 & 1 & 3
\end{array} \right] = 0 [/tex3]

Calculando o determinante, fica;

2z - 2 - 6y + 12 - 6y + 12 + 3x + 3 = 0

Portanto,

3x - 12y + 2z + 25 = 0


Excelente estudo!