Ensino SuperiorHipérbole Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
emanuel9393
5 - Mestre
Mensagens: 2658
Registrado em: Qua 28 Dez, 2011 20:39
Última visita: 25-03-24
Localização: Petrolina - PE
Abr 2013 08 17:29

Hipérbole

Mensagem não lida por emanuel9393 »

Sejam a hipérbole H e os focos F_1 e F_2 dessa hipérbole. Prove que, se PQ é uma corda de H tal que d\left(P, F_1\right) \, - \, d \left(P  ,  F_2\right) \, = \, 2a (a notação d \left(A , B\right) significa a distância do ponto A ao ponto B) e d\left(Q, F_1\right) \, - \, d \left(Q  ,  F_2\right) \, = \, 2a então d\left(P , Q\right) \, \geq \, 2a.

Última edição: emanuel9393 (Seg 08 Abr, 2013 17:29). Total de 1 vez.


As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...

Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 4008
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 04-04-23
Localização: Teresina- PI
Ago 2022 02 11:59

Re: Hipérbole

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma prova:

A questão está pedindo para provarmos se , dada uma corda PQ qualquer da hipérbole , ela satisfaz d( P , Q ) ≥ 2a. Para isso, precisaremos verificar uma propriedade triangular. Vamos formar dois triângulos : PQF [tex3]_{1}[/tex3] e PQF [tex3]_{2}[/tex3] . Aplicando a propriedade triangular, temos:

{ d( P , Q ) ≥ d( P , F [tex3]_{1}[/tex3] ) - d( Q , F [tex3]_{1}[/tex3] )
{ d( P , Q ) ≥ d( Q , F [tex3]_{2}[/tex3] ) - d( P , F [tex3]_{2}[/tex3] )

Somando ambas as equações, temos:

2.d( P , Q ) ≥ d( P , F [tex3]_{1}[/tex3] ) - d( Q , F [tex3]_{1}[/tex3] ) + d( Q , F [tex3]_{2}[/tex3] ) - d( P , F [tex3]_{2}[/tex3] )

2.d( P , Q ) ≥ ( d( P , F [tex3]_{1}[/tex3] ) - d( P , F [tex3]_{2}[/tex3] ) ) - ( d( Q , F [tex3]_{1}[/tex3] ) - d( Q , F [tex3]_{2}[/tex3] ) )

A definição da hipérbole nos diz que:

| d( P , F [tex3]_{1}[/tex3] ) - d( P , F [tex3]_{2}[/tex3] ) | = 2a

Portanto,

d( P , F [tex3]_{1}[/tex3] ) - d( P , F [tex3]_{2}[/tex3] ) = 2a ou d( P , F [tex3]_{1}[/tex3] ) - d( P , F [tex3]_{2}[/tex3] ) = - 2a.

O mesmo irá ocorrer com o ponto Q.

Mas afinal, qual o objetivo disso? Verificamos essas relações para ver o caso mais restritivo , isto é , qual o menor valor que d( P , Q ) pode assumir.

Esta relação será obtida se fizermos:

d( P , F [tex3]_{1}[/tex3] ) - d( P , F [tex3]_{2}[/tex3] ) = 2a e d( Q , F [tex3]_{2}[/tex3] ) - d( P , F [tex3]_{1}[/tex3] ) = - 2a.

Assim, temos que:

2.d( P , Q ) ≥ 2a - ( - 2a )

2.d( P , Q ) ≥ 4a

d( P , Q ) ≥ 2a

E assim, provamos a relação da questão. Ou como eu gosto de escrever C.q.p.


Excelente estudo!




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Superior”