Ensino SuperiorBase Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

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emanuel9393
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Abr 2013 05 00:14

Base

Mensagem não lida por emanuel9393 »

Sejam [tex3]B \, = \, \left(\vec{i} \, ,\, \vec{j}\right)[/tex3] uma base ortonormal de [tex3]\mathbb{V}_\pi[/tex3] (conjunto-universo dos vetores no plano [tex3]\pi[/tex3] ), [tex3]P[/tex3] um ponto qualquer de [tex3]\pi[/tex3] , [tex3]\vec{u} \, = \, \left(m \, , \, n\right)_{B}[/tex3] e [tex3]v \, = \, \left(p \, , \, q\right)_{B}[/tex3] vetores linearmente independentes de [tex3]\mathbb{V}_\pi[/tex3] . Mostre que a área de um paralelogramo de vértices [tex3]P[/tex3] , [tex3]P \, + \, \vec{u}[/tex3] , [tex3]P \, + \, \vec{v}[/tex3] e [tex3]P \, + \, \vec{u} \, + \, \vec{v}[/tex3] é [tex3]\left| mq \, - \, mp\right|[/tex3] .

Última edição: MateusQqMD (Qui 04 Ago, 2022 08:25). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3


As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...

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Cardoso1979
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Ago 2022 02 19:32

Re: Base

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

O que o autor está pedindo nesta questão é para calcular a área de um paralelogramo de lados dados pelos vetores [tex3]\vec{u}[/tex3] e [tex3]\vec{v}[/tex3] . Sabemos que a norma do produto vetorial entre dois vetores é exatamente a área do paralelogramo definido por eles.

Logo, basta calcularmos o produto vetorial entre [tex3]\vec{u}[/tex3] e [tex3]\vec{v}[/tex3] e depois calcular a norma deste vetor ( o vetor resultante do produto vetorial ) . Temos então que;

[tex3]\vec{u} \wedge \vec{v} = \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
m & n & 0\\
p & q & 0
\end{array} \right|[/tex3] = 0.[tex3]\vec{i}[/tex3] + 0.[tex3]\vec{j}[/tex3] + ( mq - np).[tex3]\vec{k}[/tex3] = ( 0 , 0 , mq - np )


Basta agora calcularmos a norma desse vetor, vem;

|| [tex3]\vec{u} \wedge \vec{v}[/tex3] || = √[ 0² + 0² + ( mq - np )² ]

|| [tex3]\vec{u} \wedge \vec{v}[/tex3] || √( mq - np )²

|| [tex3]\vec{u} \wedge \vec{v}[/tex3] || = | mq - np |.

Portanto,

Área = || [tex3]\vec{u} \wedge \vec{v}[/tex3] || = | mq - np |. C.q.m.


Obs. Contém erro no enunciado que você postou, é por isso que ninguém havia resolvido.


Excelente estudo!




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