Ensino Superior

Mensagem não lidapor **Natan** » Ter 26 Jun, 2012 01:19 · Mensagem não lida por **Natan** » Ter 26 Jun, 2012 01:19

Seja [tex3]f:\, \Re\, \right\, \Re[/tex3] definida por [tex3]f(x)=\frac{x^5}{1+x^6}.[/tex3] Calcule as derivadas de ordem 2001 e 2003 de f no ponto [tex3]x=0[/tex3]

Observe

Modo 1:

Utilizando a identidade

[tex3]\frac{y^{n+1}}{1-y}=\frac{1}{1-y}-\sum_{k=0}^{n}y^k[/tex3]

Tomando [tex3]y=-x^6[/tex3] e multiplicando por [tex3]x^{5}[/tex3] , a expressão fica;

[tex3]\frac{(-x^6)^{n+1}.x^5}{1+x^6}=\frac{x^5}{1+x^6}-\sum_{k=0}^{n}(-1)^kx^{6k+5}[/tex3]

Vale [tex3]D^{k}\frac{f(0)}{k!}=a_{k}[/tex3] o coeficiente de [tex3]\sum_{k=0}^{n}(-1)^kx^{6k+5}[/tex3] , daí se k não é da forma 6t + 5 vale [tex3]a_{k}=0[/tex3] e [tex3]a_{6k+5}=D^{6k+5}\frac{f(0)}{(6k+5)!}=(-1)^k[/tex3] que implica [tex3]D^{6k+5}f(0)=(-1)^k(6k+5)![/tex3] tomando k = 333 segue que [tex3]D^{2003}f(0)=-(2003)![/tex3] e [tex3]D^{2001}f(0)=0[/tex3] , pois 2001 não é da forma 6k + 5.

Modo 2:

Como [tex3]f(x)=x^5-x^{11}+ \ ... \ +(-1)^nx^{6n+5}+\frac{(-1)^{n+1}x^{6n+11}}{(1+x^6)}[/tex3] , segue-se que [tex3]f^{(i)}(0)=0[/tex3] se i não é da forma 6n + 5 enquanto que que [tex3]f^{(i)}(0)=(-1)^n.i![/tex3] se i = 6n + 5 . Logo [tex3]f^{(2001)}(0)=0[/tex3] e [tex3]f^{(2003)}(0)=(-1)^{333}.(2003)!=(-1).(2003)!=-2003![/tex3] .

Bons estudos!

Ensino Superior ⇒ Derivada Tópico resolvido

Derivada

Re: Derivada

Ensino Superior ⇒ Derivada Tópico resolvido

Derivada

Re: Derivada

Entrar • Registrar