Ensino Superior ⇒ Equações reduzidas Tópico resolvido

[libecker]

Escrever as equações reduzidas na variavel z, da reta que passa pela origem e é ortogonal a cada uma das retas

[tex3](r):\,\,\frac{2x-1}{3}=\frac{y+2}{-2}= 2z-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](r):\,\,\frac{2x-1}{3}=\frac{y+2}{-2}= 2z-2[/tex3]

e [tex3](s):\,\,x=-y=-z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](s):\,\,x=-y=-z[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Como a reta a ser determinada é perpendicular às retas r e s , então devemos efetuar o produto vetorial entre os vetores diretores de r e s. Primeiramente, é necessário colocar as equações das retas( de r e s ) na forma padrão, temos para a reta r:

r : ( 2x - 1 )/3 = ( y + 2 )/( - 2 ) = 2z - 2

r : [tex3]\frac{x - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{ y + 2 }{ - 2 } = \frac{ z - 1 }{ \frac{1}{2} }[/tex3]

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[tex3]\frac{x - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{ y + 2 }{ - 2 } = \frac{ z - 1 }{ \frac{1}{2} }[/tex3]

.

Vetor diretor de r:

[tex3]\vec{v} = \left(\frac{3}{2} , - 2 , \frac{1}{2}\right)[/tex3]

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[tex3]\vec{v} = \left(\frac{3}{2} , - 2 , \frac{1}{2}\right)[/tex3]

Reta s :

s : x = - y = - z

s : ( x - 0 )/1 = ( y - 0 )/( - 1 ) = ( z - 0 )/( - 1 )

Vetor diretor de s:

[tex3]\vec{u}[/tex3]

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[tex3]\vec{u}[/tex3]

= ( 1 , - 1 , - 1 ).


Cálculo do produto vetorial:

[tex3]\vec{w} = \vec{v} × \vec{u} = \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2}\\
1 & - 1 & - 1
\end{array} \right|[/tex3]

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[tex3]\vec{w} = \vec{v} × \vec{u} = \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2}\\
1 & - 1 & - 1
\end{array} \right|[/tex3]

Desenvolvendo, obtemos:

[tex3]\vec{w}[/tex3]

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[tex3]\vec{w}[/tex3]

= ( 5/2 , 2 , 1/2 ).

Para encontrarmos a equação vetorial devemos ter o vetor diretor e um ponto comum pertencente a reta, temos então

( x , y , z ) = P + [tex3]\vec{w}[/tex3]

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[tex3]\vec{w}[/tex3]

.t , t [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

.

Do enunciado, como a reta passa pela origem, então,

( x , y , z ) = ( 0 , 0 , 0 ) + ( 5/2 , 2 , 1/2 ).t


Colocando na forma paramétrica:

{ x = ( 5/2 ).t ( I )
{ y = 2.t ( I I )
{ z = ( 1/2 ).t

A partir dessas equações paramétricas podemos determinar as equações na forma reduzida, vem;

z = ( 1/2 ).t → t = 2z

Substituindo t = 2z em ( I ) e em ( I I ), fica;

x = ( 5/2 ).2z → x = 5z

e

y = 2.2z → y = 4z

Portanto, as equações reduzidas procurada é:

[tex3]m : \begin{cases}
x = 5z \\
y = 4z
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]m : \begin{cases}
x = 5z \\
y = 4z
\end{cases}[/tex3]

Excelente estudo!