Quantas retas tangentes à curva y=[tex3]\frac{x}{x+1}[/tex3]
passam pelo ponto (1,2)? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
gabarito: Dois, ([tex3]-2 \pm \sqrt{3}[/tex3]
, [tex3]\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}[/tex3]
)
Ensino Superior ⇒ Derivadas
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Natan
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Abr 2012
23
15:17
Re: Derivadas
Opa!
Seja então [tex3]P=(x_0,\, y_0)[/tex3] o ponto de tangencia, isto é, o "ponto por onde tanto a curva quanto a reta passam".
O coeficiente angular da reta tangente em P é obtido pela derivada da curva aplicado em P certo? então vamos lá:
[tex3]y=\frac{x}{x+1}\, \Right\, y=1-\frac{1}{x+1}\, \Right\, y^'=\frac{1}{(x+1)^2}\, \therefore\, y^'(x_0)=\frac{1}{(x_0+1)^2}[/tex3]
Lembre-se que sabemos agora o coeficiente angular e temos também um ponto que pertence a reta: (1,2) então podemos usar a relação:
[tex3]y-y_0=m(x-x_0) \\ y-2=\frac{1}{(x_0+1)^2}(x-1)\, \Right\, y=\frac{x}{(x_0+1)^2}+2-\frac{1}{(x_0+1)^2}[/tex3]
Agora lembra que o ponto P pertence tanto a curva quanto a reta? ora quando aplicarmos esse ponto na curva e na reta obteremos os mesmos valores certo? então podemos escrever:
[tex3]\begin{cases}y_0=\frac{x_0}{x_0+1} \\ y_0=\frac{x_0}{(x_0+1)^2}+2-\frac{1}{(x_0+1)^2} \end{cases}[/tex3]
podemos iniciar a solução do sistema fazendo:
[tex3]\frac{x_0}{x_0+1}=\frac{x_0}{(x_0+1)^2}+2-\frac{1}{(x_0+1)^2}[/tex3]
e ai após tirar [tex3]x_0[/tex3] dessa confusão chegamos que [tex3]x_0=-1,\, -2 \pm\sqrt3[/tex3]
porém o primeiro valor deve ser desconsiderado, já que anula o denominador das frações mais acima( se precisar, relembre a teoria sobre resolução de equações racionais)
Com os valores de [tex3]x_0[/tex3] em mãos podemos encontrar os [tex3]y_0[/tex3] correspondentes por qualquer uma das equações do sistema, e daí chega-se a [tex3]y_0=\frac{1 \pm\sqrt3}{2}[/tex3]
Obs: como temos dois valores de [tex3]x_0[/tex3] teremos dois coeficientes angulares [tex3]m[/tex3] e portanto duas retas tangentes.
Resposta: duas retas tangentes, e os pontos de tangencia são [tex3]\left( -2-\sqrt3,\, \frac{1 +\sqrt3}{2}\, \right),\, \left( -2+\sqrt3,\, \frac{1 -\sqrt3}{2}\, \right)[/tex3]
Seja então [tex3]P=(x_0,\, y_0)[/tex3] o ponto de tangencia, isto é, o "ponto por onde tanto a curva quanto a reta passam".
O coeficiente angular da reta tangente em P é obtido pela derivada da curva aplicado em P certo? então vamos lá:
[tex3]y=\frac{x}{x+1}\, \Right\, y=1-\frac{1}{x+1}\, \Right\, y^'=\frac{1}{(x+1)^2}\, \therefore\, y^'(x_0)=\frac{1}{(x_0+1)^2}[/tex3]
Lembre-se que sabemos agora o coeficiente angular e temos também um ponto que pertence a reta: (1,2) então podemos usar a relação:
[tex3]y-y_0=m(x-x_0) \\ y-2=\frac{1}{(x_0+1)^2}(x-1)\, \Right\, y=\frac{x}{(x_0+1)^2}+2-\frac{1}{(x_0+1)^2}[/tex3]
Agora lembra que o ponto P pertence tanto a curva quanto a reta? ora quando aplicarmos esse ponto na curva e na reta obteremos os mesmos valores certo? então podemos escrever:
[tex3]\begin{cases}y_0=\frac{x_0}{x_0+1} \\ y_0=\frac{x_0}{(x_0+1)^2}+2-\frac{1}{(x_0+1)^2} \end{cases}[/tex3]
podemos iniciar a solução do sistema fazendo:
[tex3]\frac{x_0}{x_0+1}=\frac{x_0}{(x_0+1)^2}+2-\frac{1}{(x_0+1)^2}[/tex3]
e ai após tirar [tex3]x_0[/tex3] dessa confusão chegamos que [tex3]x_0=-1,\, -2 \pm\sqrt3[/tex3]
porém o primeiro valor deve ser desconsiderado, já que anula o denominador das frações mais acima( se precisar, relembre a teoria sobre resolução de equações racionais)
Com os valores de [tex3]x_0[/tex3] em mãos podemos encontrar os [tex3]y_0[/tex3] correspondentes por qualquer uma das equações do sistema, e daí chega-se a [tex3]y_0=\frac{1 \pm\sqrt3}{2}[/tex3]
Obs: como temos dois valores de [tex3]x_0[/tex3] teremos dois coeficientes angulares [tex3]m[/tex3] e portanto duas retas tangentes.
Resposta: duas retas tangentes, e os pontos de tangencia são [tex3]\left( -2-\sqrt3,\, \frac{1 +\sqrt3}{2}\, \right),\, \left( -2+\sqrt3,\, \frac{1 -\sqrt3}{2}\, \right)[/tex3]
Editado pela última vez por Natan em 23 Abr 2012, 15:17, em um total de 1 vez.
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