Seja [tex3]g(x) =\begin{cases}{0\rightarrow x\notin\mathbb{Q}}\\{\frac{1}{q}\rightarrow x\in\mathbb{Q}}\end{cases}[/tex3]
Mostre que [tex3]g(x)[/tex3]
é contínua em todos os números irracionais e é descontínua em todos os números racionais.
Grato.
Ensino Superior ⇒ Continuidade Tópico resolvido
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marcioluis 
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Mar 2012
23
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Continuidade
Última edição: marcioluis (Sex 23 Mar, 2012 15:08). Total de 1 vez.
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Cardoso1979 
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Fev 2020
16
11:56
Re: Continuidade
Observe
Obs. Vou mostrar que a função dada é contínua em todos os números irracionais , porém a demonstração da descontinuidade nos racionais ficará como exercício para você
Uma solução:
Para mostrar que g é contínua em [tex3]a\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}[/tex3] , observe que dado [tex3]\varepsilon > 0[/tex3] o conjunto [tex3]G=\{q\in \mathbb{N};q≤ \frac{1}{\varepsilon }\}[/tex3] é finito. Para qualquer q [tex3]\in [/tex3] G, considere [tex3]m_{q}\in Z[/tex3] o maior inteiro tal que [tex3]\frac{m_{q}}{q}< a[/tex3] . Como G é finito, existe [tex3]\frac{m}{q'}[/tex3] a maior das frações [tex3]\frac{m_{q}}{q}[/tex3] com q [tex3]\in [/tex3] G. Analogamente, existe [tex3]\frac{M}{q''}[/tex3] a menor das frações com denominador em G, tal que [tex3]\frac{M}{q''} > a[/tex3] . Consequentemente, nenhum racional do intervalo [tex3]\left(\frac{m}{q'},\frac{M}{q''}\right)[/tex3] pode ter denominador em G. Considerando [tex3]\delta =mín\{a-\frac{m}{q'}, \frac{M}{q''}-a\}[/tex3] , temos que se [tex3]0<\left|\frac{p}{q}-a\right|< \delta [/tex3] então [tex3]q\notin G[/tex3] , logo [tex3]\frac{1}{q} < \varepsilon [/tex3] e g é contínua em a. Portanto, g(x) é contínua em todos os números irracionais. C.q.m.
Bons estudos!
Obs. Vou mostrar que a função dada é contínua em todos os números irracionais , porém a demonstração da descontinuidade nos racionais ficará como exercício para você
Uma solução:
Para mostrar que g é contínua em [tex3]a\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}[/tex3] , observe que dado [tex3]\varepsilon > 0[/tex3] o conjunto [tex3]G=\{q\in \mathbb{N};q≤ \frac{1}{\varepsilon }\}[/tex3] é finito. Para qualquer q [tex3]\in [/tex3] G, considere [tex3]m_{q}\in Z[/tex3] o maior inteiro tal que [tex3]\frac{m_{q}}{q}< a[/tex3] . Como G é finito, existe [tex3]\frac{m}{q'}[/tex3] a maior das frações [tex3]\frac{m_{q}}{q}[/tex3] com q [tex3]\in [/tex3] G. Analogamente, existe [tex3]\frac{M}{q''}[/tex3] a menor das frações com denominador em G, tal que [tex3]\frac{M}{q''} > a[/tex3] . Consequentemente, nenhum racional do intervalo [tex3]\left(\frac{m}{q'},\frac{M}{q''}\right)[/tex3] pode ter denominador em G. Considerando [tex3]\delta =mín\{a-\frac{m}{q'}, \frac{M}{q''}-a\}[/tex3] , temos que se [tex3]0<\left|\frac{p}{q}-a\right|< \delta [/tex3] então [tex3]q\notin G[/tex3] , logo [tex3]\frac{1}{q} < \varepsilon [/tex3] e g é contínua em a. Portanto, g(x) é contínua em todos os números irracionais. C.q.m.
Bons estudos!
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