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Mensagem não lidapor **poti** » Sex 18 Nov, 2011 19:50 · Mensagem não lida por **poti** » Sex 18 Nov, 2011 19:50

Calcule a área da região limitada pela reta [tex3]y = x[/tex3] e pela curva [tex3]x = t^3 + t[/tex3] e [tex3]y = t^5 + t[/tex3] , [tex3]0 \leq t \leq 1[/tex3] . Desenhe a região.

Observe

Primeiro modo:

Inicialmente , observamos que , para 0 < t < 1 ; t⁵ + t < t³ + t o que significa que o ponto ( t³ + t , t⁵ + t ), para 0 < t < 1 , permanece abaixo da reta y = x. Seja K a região limitada pelas curvas dadas.

: Screenshot_20220804-122358-501.png (39.09 KiB) Exibido 248 vezes

[tex3]\gamma _{1} : \begin{cases}
x = t^3 + t \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 ≤ t ≤ 1\\
y = t^5 + t
\end{cases}[/tex3]

e

[tex3]\overline{\gamma } _{2} : \begin{cases}
x = t \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 ≤ t ≤ 2. \\
y = t
\end{cases}[/tex3]

Então, a área de K é dada por

[tex3]A_K = ∳ _\gamma x \ dy = \int\limits_{ \gamma _{1}} x \ dy - \int\limits_{ \gamma _{2}} x \ dy [/tex3] ,

ou seja,

[tex3]A_{K} = \int\limits_{0}^{1}( t^3 + t ).( 5t^4 + 1 ) \ dt \ - \ \int\limits_{0}^{2}t \ dt[/tex3]

Donde obtemos,

A [tex3]_{K}[/tex3] = 5/24 u.a.

Segundo modo:

A região que queremos calcular é essa abaixo, entre as curvas

: download.jpeg (17.95 KiB) Exibido 248 vezes

Para determinar essa região podemos usar o seguinte dado

k = [tex3]∳ _\gamma x \ dy [/tex3]

No caso em questão teremos que desmembrar em duas curvas, ou seja;

k = [tex3]∳ _{\gamma_{1}} \ x_{1} \ dy \ + \ ∳ _{\gamma_{2}} \ x_{2} \ dy [/tex3]

Definindo a curva γ[tex3]_{1}[/tex3] como sendo

[tex3]\begin{cases}
x = t^3 + t \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 ≤ t ≤ 1\\
y = t^5 + t
\end{cases}[/tex3]

dy = ( 5t⁴ + 1 ) dt

Agora, vamos definir a curva γ[tex3]_{2}[/tex3] , temos:

y = x = t , 0 ≤ t ≤ 2

dy = dt

Vamos "juntar" esses cálculos a nossa integração. Lembrando que a reta y = x tem que completar a circulação , ou seja , está no sentido anti-horário.

[tex3]k = ∳ _{0}^{1} ( t^3 + t ).( 5t^4 + 1 ) \ dt \ + \
∳ _{2}^{0} t \ dt [/tex3]

[tex3]k = ∳ _{0}^{1} ( 5t^7+ 5t^5 + t^3 + t ) \ dt \ + \ \left[\frac{t^2}{2}\right]_{2}^{0} [/tex3]

[tex3]k = \left[\frac{5t^8}{8} + \frac{5t^6}{6} + \frac{t^4}{4} + \frac{t^2}{2}\right]_0^1 + \left[\frac{t^2}{2}\right]_{2}^{0} [/tex3]

k = ( 5/8 ) + ( 5/6 ) + ( 1/4 ) + ( 1/2 ) - 2

k = 5/24 u.a.

Excelente estudo!

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