Encontre o mínimo de [tex3]f(x,\, y,\, z)=x+y+z[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{xyz} \leq \frac{1}{3}(x+y+z),\, x>0,\, y>0,\, z>0.[/tex3]
na superfície [tex3]xyz=k,[/tex3]
onde [tex3]x>0,\, y>0[/tex3]
e [tex3]z>0.[/tex3]
Use o resultado para mostrar que:Ensino Superior ⇒ Multiplicadores de Lagrange Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2011
25
20:08
Multiplicadores de Lagrange
Última edição: MateusQqMD (Qui 04 Ago, 2022 08:26). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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Ago 2022
03
22:24
Re: Multiplicadores de Lagrange
Observe
Uma solução:
Calculando os gradientes para formar nosso sistema com os multiplicadores, temos que
f( x , y , z ) = x + y + z → ∇f = ( 1 , 1 , 1 ).
Agora nossa superfície S :
S : xyz = k → ∇S = ( yz , xz , xy ).
Assim,
1 = yzλ
1 = xzλ
1 = xyλ
xyz = k
Vamos manipular as três primeiras equações para poder deixar o lado direito igual a todas elas
x = xyzλ
y = xyzλ
z = xyzλ
xyz = k
Analisando as três primeiras equações vemos que
x = y = z
Usando x = y = z na equação xyz = k , vem;
x³ = k
x = [tex3]\sqrt[3]{k}[/tex3]
Logo, podemos concluir que
x = y = z = [tex3]\sqrt[3]{k}[/tex3] .
Analisando que descobrimos os pontos de mínimo, podemos dizer que nossa função se comporta da seguinte forma
x [tex3]_{0}[/tex3] + y [tex3]_{0}[/tex3] + z [tex3]_{0}[/tex3] ≤ x + y + z
3 [tex3]\sqrt[3]{k}[/tex3] ≤ x + y + z
Podemos usar a relação k em função de xyz para sumir com k.
xyz = k
Com isso nossa desigualdade fica;
3 [tex3]\sqrt[3]{xyz}[/tex3] ≤ x + y + z
[tex3]\sqrt[3]{xyz}[/tex3] ≤ [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] .( x + y + z ). C.q.m
Excelente estudo!
Uma solução:
Calculando os gradientes para formar nosso sistema com os multiplicadores, temos que
f( x , y , z ) = x + y + z → ∇f = ( 1 , 1 , 1 ).
Agora nossa superfície S :
S : xyz = k → ∇S = ( yz , xz , xy ).
Assim,
1 = yzλ
1 = xzλ
1 = xyλ
xyz = k
Vamos manipular as três primeiras equações para poder deixar o lado direito igual a todas elas
x = xyzλ
y = xyzλ
z = xyzλ
xyz = k
Analisando as três primeiras equações vemos que
x = y = z
Usando x = y = z na equação xyz = k , vem;
x³ = k
x = [tex3]\sqrt[3]{k}[/tex3]
Logo, podemos concluir que
x = y = z = [tex3]\sqrt[3]{k}[/tex3] .
Analisando que descobrimos os pontos de mínimo, podemos dizer que nossa função se comporta da seguinte forma
x [tex3]_{0}[/tex3] + y [tex3]_{0}[/tex3] + z [tex3]_{0}[/tex3] ≤ x + y + z
3 [tex3]\sqrt[3]{k}[/tex3] ≤ x + y + z
Podemos usar a relação k em função de xyz para sumir com k.
xyz = k
Com isso nossa desigualdade fica;
3 [tex3]\sqrt[3]{xyz}[/tex3] ≤ x + y + z
[tex3]\sqrt[3]{xyz}[/tex3] ≤ [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] .( x + y + z ). C.q.m
Excelente estudo!
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