Mostre que:
[tex3]\Large cosh(\frac{x}{2})=\sqrt{\frac{1+coshx}{2}}[/tex3]
O galera travei nessa questão, quem puder ajudar, muito obriogado, flwss!!!!!!!
Ensino Superior ⇒ Função Hiperbólica Tópico resolvido
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22:34
Função Hiperbólica
Última edição: Doug (Seg 04 Abr, 2011 22:34). Total de 1 vez.
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Fev 2020
17
21:47
Re: Função Hiperbólica
Observe
Uma solução:
Temos que
[tex3]cosh(x)=cosh\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=cosh\left(\frac{x}{2}\right).cosh\left(\frac{x}{2}\right)+senh\left(\frac{x}{2}\right).senh\left(\frac{x}{2}\right)[/tex3]
[tex3]cosh(x)=cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) + senh^2\left(\frac{x}{2}\right) \ (I)[/tex3]
Como [tex3]cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) - senh^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 [/tex3]
ou seja,
[tex3]senh^2\left(\frac{x}{2}\right) =cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \ (II)[/tex3]
Substituindo ( I I ) em ( I ) , vem;
[tex3]cosh(x)=cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) + cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 [/tex3]
[tex3]cosh(x)=2.cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) -1[/tex3]
[tex3]2.cosh^2\left(\frac{x}{2}\right)=1+cosh(x)[/tex3]
[tex3]cosh^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1+cosh(x)}{2}[/tex3]
Logo,
[tex3]cosh\left(\frac{x}{2}\right)=
\sqrt{\frac{1+cosh(x)}{2}} \ (pois, \ cosh \left(\frac{x}{2}\right)>0)[/tex3] . C.q.m.
Nota
Você poderia também partir logo do teorema, ou seja , com x substituído por [tex3]\frac{x}{2}[/tex3] ( forma mais direta ) , ficaria [tex3]cosh(x)=2.cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) -1[/tex3] , daí , chegará no mesmo resultado, mais foi exatamente o que eu fiz , eu fui mais além , porque eu mostrei passo a passo, muito antes disso, KKkkkkk.
Bons estudos!
Uma solução:
Temos que
[tex3]cosh(x)=cosh\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=cosh\left(\frac{x}{2}\right).cosh\left(\frac{x}{2}\right)+senh\left(\frac{x}{2}\right).senh\left(\frac{x}{2}\right)[/tex3]
[tex3]cosh(x)=cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) + senh^2\left(\frac{x}{2}\right) \ (I)[/tex3]
Como [tex3]cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) - senh^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 [/tex3]
ou seja,
[tex3]senh^2\left(\frac{x}{2}\right) =cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \ (II)[/tex3]
Substituindo ( I I ) em ( I ) , vem;
[tex3]cosh(x)=cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) + cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 [/tex3]
[tex3]cosh(x)=2.cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) -1[/tex3]
[tex3]2.cosh^2\left(\frac{x}{2}\right)=1+cosh(x)[/tex3]
[tex3]cosh^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1+cosh(x)}{2}[/tex3]
Logo,
[tex3]cosh\left(\frac{x}{2}\right)=
\sqrt{\frac{1+cosh(x)}{2}} \ (pois, \ cosh \left(\frac{x}{2}\right)>0)[/tex3] . C.q.m.
Nota
Você poderia também partir logo do teorema, ou seja , com x substituído por [tex3]\frac{x}{2}[/tex3] ( forma mais direta ) , ficaria [tex3]cosh(x)=2.cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) -1[/tex3] , daí , chegará no mesmo resultado, mais foi exatamente o que eu fiz , eu fui mais além , porque eu mostrei passo a passo, muito antes disso, KKkkkkk.
Bons estudos!
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