Ensino Superior ⇒ Função Hiperbólica Tópico resolvido

[Doug]

Mostre que:

[tex3]\Large cosh(\frac{x}{2})=\sqrt{\frac{1+coshx}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Large cosh(\frac{x}{2})=\sqrt{\frac{1+coshx}{2}}[/tex3]

O galera travei nessa questão, quem puder ajudar, muito obriogado, flwss!!!!!!!

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Temos que

[tex3]cosh(x)=cosh\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=cosh\left(\frac{x}{2}\right).cosh\left(\frac{x}{2}\right)+senh\left(\frac{x}{2}\right).senh\left(\frac{x}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cosh(x)=cosh\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=cosh\left(\frac{x}{2}\right).cosh\left(\frac{x}{2}\right)+senh\left(\frac{x}{2}\right).senh\left(\frac{x}{2}\right)[/tex3]

[tex3]cosh(x)=cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) + senh^2\left(\frac{x}{2}\right) \ (I)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cosh(x)=cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) + senh^2\left(\frac{x}{2}\right) \ (I)[/tex3]

Como [tex3]cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) - senh^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) - senh^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 [/tex3]

ou seja,

[tex3]senh^2\left(\frac{x}{2}\right) =cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \ (II)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]senh^2\left(\frac{x}{2}\right) =cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \ (II)[/tex3]

Substituindo ( I I ) em ( I ) , vem;

[tex3]cosh(x)=cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) + cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cosh(x)=cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) + cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 [/tex3]

[tex3]cosh(x)=2.cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) -1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cosh(x)=2.cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) -1[/tex3]

[tex3]2.cosh^2\left(\frac{x}{2}\right)=1+cosh(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.cosh^2\left(\frac{x}{2}\right)=1+cosh(x)[/tex3]

[tex3]cosh^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1+cosh(x)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cosh^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1+cosh(x)}{2}[/tex3]

Logo,

[tex3]cosh\left(\frac{x}{2}\right)=
\sqrt{\frac{1+cosh(x)}{2}} \ (pois, \ cosh \left(\frac{x}{2}\right)>0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cosh\left(\frac{x}{2}\right)=
\sqrt{\frac{1+cosh(x)}{2}} \ (pois, \ cosh \left(\frac{x}{2}\right)>0)[/tex3]

. C.q.m.


Nota

Você poderia também partir logo do teorema, ou seja , com x substituído por [tex3]\frac{x}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{2}[/tex3]

( forma mais direta ) , ficaria [tex3]cosh(x)=2.cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) -1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cosh(x)=2.cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) -1[/tex3]

, daí , chegará no mesmo resultado, mais foi exatamente o que eu fiz , eu fui mais além , porque eu mostrei passo a passo, muito antes disso, KKkkkkk.


Bons estudos!