Ensino SuperiorSérie Tópico resolvido

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Pitágoras
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Abr 2011 04 20:18

Série

Mensagem não lida por Pitágoras »

Mostre que [tex3]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{(n+1)!}=-1+e[/tex3] .

Última edição: Pitágoras (Seg 04 Abr, 2011 20:18). Total de 1 vez.



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Cardoso1979
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Jun 2022 30 10:06

Re: Série

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

Façamos algumas mudanças, temos

[tex3]\sum_{n=0}^{∞} \frac{n^2}{ ( n + 1 )!}[/tex3]

Fazendo n + 1 = k , fica;

[tex3]\sum_{k=1}^{∞} \frac{ ( k - 1 ) ^2}{k!} =[/tex3]

[tex3]\sum_{k=1}^{∞} \frac{ k^2 - 2k + 1}{k!} =[/tex3]

[tex3]\sum_{k=1}^{∞} \frac{ k^2 }{k!} \ - \ 2.\sum_{k=1}^{∞} \frac{ k }{k!} \ + \ \sum_{k=1}^{∞} \frac{ 1 }{k!} [/tex3]

Vamos resolver cada uma separadamente, seguindo a ordem, iremos desenvolver [tex3]\sum_{k=1}^{∞} \frac{ k^2 }{k!} [/tex3] .

Temos,

[tex3]\sum_{k=1}^{∞} \frac{ \cancel{k}.k }{\cancel{k}.( k - 1 )!} = [/tex3]

[tex3]\sum_{k=1}^{∞} \frac{ k }{ ( k - 1 )! } = [/tex3]

Para facilitar os cálculos( meu ponto de vista ), façamos k - 1 = K, daí,

[tex3]\sum_{K=0}^{∞} \frac{ K + 1 }{ K! } [/tex3]

Vamos derivar a série de Maclaurin x.e[tex3]^{x}[/tex3] e usar o resultado para determinar a soma acima, vem;

[tex3]( x + 1 ).e^{x} = \frac{d}{dx}( x.e^x ) = \frac{d
}{ dx }\sum_{ K=0}^{∞} \frac{x^{ K + 1 } }{K!} = \sum_{K=0}^{ ∞ } \frac{K + 1}{K!}x^K[/tex3]

então faça x = 1 para obter o resultado,

[tex3]( 1 + 1 ).e^{1} = \sum_{K=0}^{ ∞ } \frac{K + 1}{K!}.1^K[/tex3]

Logo,

[tex3]\sum_{K=0}^{ ∞ } \frac{K + 1}{K!} = 2e[/tex3] .


Agora vamos resolver [tex3]\ - \ 2.\sum_{k=1}^{∞} \frac{ k }{k!} [/tex3] , temos

Obs.1 Desta vez não irei utilizar derivadas , embora seja possível, vou usar uma forma mais direta!

[tex3]\ - \ 2.\sum_{k=1}^{∞} \frac{ \cancel{k} }{\cancel{k}.( k - 1 )!} = [/tex3]

[tex3]\ - \ 2.\sum_{k=1}^{∞} \frac{ 1 }{ ( k - 1 )!} [/tex3] .

Fazendo k - 1 = K, resulta,

[tex3]\ - \ 2.\sum_{K=0}^{∞} \frac{ 1 }{ K!} [/tex3] .

Lembrando que

[tex3]e = \sum_{K=0}^{∞}\frac{1}{K!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + . . . [/tex3]

Logo,

[tex3]\ - \ 2.\sum_{K=0}^{∞} \frac{ 1 }{ K!} = - 2e [/tex3] .


Por fim, vamos resolver [tex3]\sum_{k=1}^{∞} \frac{ 1 }{k!} [/tex3]

Temos que

[tex3]e = \sum_{k=0}^{∞}\frac{1}{k!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + . . . [/tex3]

então

[tex3]e = 1 + \sum_{k=1}^{∞}\frac{1}{k!} = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + . . . [/tex3]

[tex3]e - 1 = \sum_{k=1}^{∞}\frac{1}{k!} = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + . . . [/tex3]

Logo,

[tex3]\sum_{k=1}^{∞} \frac{ 1 }{k!} = e - 1 [/tex3] .

Portanto,


[tex3]\sum_{n=0}^{∞} \frac{ n^2 }{( n + 1 )!} = \sum_{k=1}^{∞} \frac{ k^2 - 2k + 1}{k!} = \sum_{k=1}^{∞} \frac{ k^2 }{k!} \ - \ 2.\sum_{k=1}^{∞} \frac{ k }{k!} \ + \ \sum_{k=1}^{∞} \frac{ 1 }{k!} = 2e - 2e + e - 1 = e - 1 [/tex3] . C.q.m. ✅


Obs.2
[tex3]e^x = \sum_{k=0}^{∞}\frac{x^k}{k!} = 1 +\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + . . . + \frac{x^k}{k!}[/tex3]



Excelente estudo!




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