Ensino Superior ⇒ Continuidade

[Natan]

Discuta a continuidade da função:

[tex3]f(x,\, y)= \left{ \frac{xy}{|x|+|y|}\, se\, (x,\, y) \neq (0,\, 0) \\ 0\, se\, (x,\, y)=(0,\, 0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,\, y)= \left{ \frac{xy}{|x|+|y|}\, se\, (x,\, y) \neq (0,\, 0) \\ 0\, se\, (x,\, y)=(0,\, 0)[/tex3]

[andrecaldas]

Quando o denominador não é zero, ou seja quando x ou y não são zero, f é contínua, pois é composição de funções contínuas (soma, divisão, produto).

Em (0,0) a função também é contínua. Use o truque do [tex3]\max(|x|,|y|)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\max(|x|,|y|)[/tex3]

...
1. [tex3]|xy| \leq \max(|x|,|y|)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|xy| \leq \max(|x|,|y|)^2[/tex3]

.
2. [tex3]|x|+|y| \geq \max(|x|,|y|)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|x|+|y| \geq \max(|x|,|y|)[/tex3]

.

Assim,
[tex3]0 \leq \left| \frac{xy}{|x|+|y|} \right | \leq \left| \frac{\max(|x|,|y|)^2}{\max(|x|,|y|)}\right| = \max(|x|,|y|) \rightarrow 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0 \leq \left| \frac{xy}{|x|+|y|} \right | \leq \left| \frac{\max(|x|,|y|)^2}{\max(|x|,|y|)}\right| = \max(|x|,|y|) \rightarrow 0[/tex3]

.

[Natan]

pode explicar esse "truque" ? não entendi nada!

[andrecaldas]

pode explicar esse "truque" ? não entendi nada!

Note que [tex3](x,y) \rightarrow (0,0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x,y) \rightarrow (0,0)[/tex3]

se, e somente se, [tex3]\max(|x|,|y|) \rightarrow 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\max(|x|,|y|) \rightarrow 0[/tex3]

.

Não sei o que falta explicar... em que consiste sua dúvida?

[Natan]

Como são montadas essas desigualdades, qual o raciocíneo? o que tem esse máximo entre os módulos?

[andrecaldas]

Como são montadas essas desigualdades, qual o raciocíneo?

O item 1,
1. [tex3]|xy| \leq \max(|x|,|y|)^2[/tex3]

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[tex3]|xy| \leq \max(|x|,|y|)^2[/tex3]

.
Segue do fato que
[tex3]|x| \leq \max(|x|,|y|) \Rightarrow |xy| \leq \max(|x|,|y|) |y|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|x| \leq \max(|x|,|y|) \Rightarrow |xy| \leq \max(|x|,|y|) |y|[/tex3]

e
[tex3]|y| \leq \max(|x|,|y|) \Rightarrow \max(|x|,|y|) |y| \leq \\ \leq \max(|x|,|y|) \max(|x|,|y|) = \max(|x|,|y|)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|y| \leq \max(|x|,|y|) \Rightarrow \max(|x|,|y|) |y| \leq \\ \leq \max(|x|,|y|) \max(|x|,|y|) = \max(|x|,|y|)^2[/tex3]

.

O item 2,
2. [tex3]|x|+|y| \geq \max(|x|,|y|)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|x|+|y| \geq \max(|x|,|y|)[/tex3]

.
Segue do fato de que
[tex3]|x|+|y| \geq |x|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|x|+|y| \geq |x|[/tex3]

e
[tex3]|x|+|y| \geq |y|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|x|+|y| \geq |y|[/tex3]

.

Juntando os dois itens, temos que
[tex3]0 \leq \left| \frac{xy}{|x|+|y|} \right | \leq \left| \frac{\max(|x|,|y|)^2}{\max(|x|,|y|)}\right| = \max(|x|,|y|) \rightarrow 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0 \leq \left| \frac{xy}{|x|+|y|} \right | \leq \left| \frac{\max(|x|,|y|)^2}{\max(|x|,|y|)}\right| = \max(|x|,|y|) \rightarrow 0[/tex3]

.
Note que [tex3](x,y) \rightarrow (0,0) \Leftrightarrow \max(|x|,|y|) \rightarrow 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x,y) \rightarrow (0,0) \Leftrightarrow \max(|x|,|y|) \rightarrow 0[/tex3]

.

Assim,
[tex3]\left| \frac{xy}{|x|+|y|} \right| \rightarrow 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left| \frac{xy}{|x|+|y|} \right| \rightarrow 0[/tex3]

.
Isso é o mesmo que
[tex3]\frac{xy}{|x|+|y|} \rightarrow 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{xy}{|x|+|y|} \rightarrow 0[/tex3]

.