Ensino SuperiorLimite de função complexa Tópico resolvido

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Natan
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Mai 2010 22 21:50

Limite de função complexa

Mensagem não lida por Natan »

Calcular, pela definição:

[tex3]\lim_{z \to 1} (4z-2)=2[/tex3]
Resposta

Olá, eu fiz mais gostaria de saber se está correto.

Bom, eu devo mostrar que dado [tex3]\epsilon>0[/tex3] existe [tex3]\delta>0[/tex3] tal que [tex3]0<|z-z_o|<\delta\, \Right\, |f(z)-L|<\epsilon[/tex3] exibindo um [tex3]\delta[/tex3] para o qual isso aconteça, ou seja:

[tex3]0<|z-z_o|<\delta\, \Right\, |z-1|=\frac{4|z-1|}{4}=\frac{|4z-4|}{4}=\frac{|4z-2-2|}{4}<\delta[/tex3]

assim tomando [tex3]\delta=\frac{\epsilon}{4}[/tex3] ficamos com:

[tex3]\frac{|4z-2-2|}{4}<\frac{\epsilon}{4}\, \Right\, |\underbrace{4z-2}_{f(z)}-\underbrace{2}_{L}|<\epsilon\, \Right\, \lim_{z \to 1} (4z-2)=2.[/tex3]

Última edição: Natan (Sáb 22 Mai, 2010 21:50). Total de 1 vez.



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Cardoso1979
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Re: Limite de função complexa

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Sim. A sua resolução está correta!✅

Uma outra maneira: ( apenas uma outra maneira de olhar a resolução e com explicação )

Obs. As definições de limite e função contínua complexas são idênticas ao caso real :

• Dizemos que [tex3]\lim_{z \rightarrow \ z_{0}}[/tex3]f( z ) = L quando para cada ε > 0 dado , existir um δ > 0 tal que

0 < | z - z[tex3]_{0}[/tex3] | < δ ⇒ | f( z ) - L | < ε.


De acordo com a definição , devemos mostrar que , para todo ε > 0 , existe um δ > 0 , tal que

| ( 4z - 2 ) - 2 | < ε sempre que 0 < | z - 1 | < δ.

O exame da desigualdade envolvendo ε proporciona uma chave para a escolha de δ. As seguintes desigualdades são equivalentes:

| 4z - 2 - 2 | < ε

| 4z - 4 | < ε

| 4.( z - 1 ) | < ε

4.| z - 1 | < ε

| z - 1 | < ε/4.


A última desigualdade nos sugere a escolha do δ.

Fazendo δ = ε/4 , vem que

| ( 4z - 2 ) - 2 | < ε sempre que 0 < | z - 1 | < δ.

Portanto, [tex3]\lim_{z \to 1} (4z-2)=2[/tex3] .

Nota

Observamos que o valor sugerido para δ não é o único valor que garante a relação pretendida. Poderíamos tomar , por exemplo , δ = ε/5 ou qualquer outro valor δ < ε/4.




Excelente estudo!




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