Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Demonstração: Soma dos Cubos dos n Primeiros Naturais Tópico resolvido
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Jan 2007
07
22:19
Demonstração: Soma dos Cubos dos n Primeiros Naturais
Prove que [tex3]1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + \ldots + n )^2[/tex3]
.
Editado pela última vez por edu_vrb em 07 Jan 2007, 22:19, em um total de 2 vezes.
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Jan 2007
09
15:04
Re: Demonstração: Soma dos Cubos dos n Primeiros Naturais
Vejamos esse triângulo:
Sabendo que a linha número [tex3]n[/tex3] do triângulo corresponde a [tex3]n^3,[/tex3] temos que a soma [tex3](1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3)[/tex3] vale a soma das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas do triângulo.
Tendo em vista que os termos do triângulo estão em PA de razão [tex3]2,[/tex3] podemos encontrar o último termo da n-ésima linha, e assim teremos condições de encontrar a soma de todos os elementos das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas.
Como a linha [tex3]n[/tex3] do triângulo tem [tex3]n[/tex3] elementos, vamos encontrar o número [tex3]p[/tex3] de elementos das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas, utilizando a fórmula da soma dos termos de uma PA.
- [tex3]\begin{array}{llll}
1&&&\\
3 & 5& &\\
7 & 9 & 11\\
13 & 15& 17 & 19\\
& & & \\
\ldots& & &\end{array}[/tex3]
- [tex3]1 = 1^3\\
3 + 5 = 8 = 2^3\\
7 + 9 + 11 = 27 = 3^3\\
13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4^3\\
\ldots[/tex3]
Sabendo que a linha número [tex3]n[/tex3] do triângulo corresponde a [tex3]n^3,[/tex3] temos que a soma [tex3](1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3)[/tex3] vale a soma das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas do triângulo.
Tendo em vista que os termos do triângulo estão em PA de razão [tex3]2,[/tex3] podemos encontrar o último termo da n-ésima linha, e assim teremos condições de encontrar a soma de todos os elementos das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas.
Como a linha [tex3]n[/tex3] do triângulo tem [tex3]n[/tex3] elementos, vamos encontrar o número [tex3]p[/tex3] de elementos das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas, utilizando a fórmula da soma dos termos de uma PA.
- [tex3]p =\frac{(1 + n)\cdot n}{2}[/tex3]
- [tex3]x = 1 + (p - 1)\cdot 2[/tex3]
- [tex3]x = (n + 1)\cdot n - 1[/tex3]
- [tex3]S = \frac{(1 + x)\cdot p}{2}[/tex3]
- [tex3]S = \frac{(n + 1)\cdot n\cdot (n + 1)\cdot n}{4} = \left[\frac{(n + 1)\cdot n}{2}\right]^2[/tex3] (I)
- [tex3](1 + 2 + 3 + \ldots + n) =\frac{(n + 1)\cdot n}{2}[/tex3] (II)
- [tex3]S = (1 + 2 + 3 + \ldots + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3[/tex3]
Editado pela última vez por Fernando Jaeger em 09 Jan 2007, 15:04, em um total de 2 vezes.
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Jul 2007
29
20:02
Re: Demonstração: Soma dos Cubos dos n Primeiros Naturais
- [tex3]1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3=\sum_{k=1}^nk^3[/tex3]
[tex3](k+1)^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1[/tex3]
- [tex3]\sum_{k=1}^n(k+1)^4=\sum_{k=1}^nk^4+4\cdot \sum_{k=1}^nk^3+6\cdot \sum_{k=1}^nk^2+4\cdot \sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1.[/tex3]
- [tex3]\sum_{k=1}^n(k+1)^4=\sum_{k=2}^nk^4+(n+1)^4,[/tex3]
[tex3]\sum_{k=1}^nk^4=1+\sum_{k=2}^nk^4,[/tex3]
[tex3]\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6},[/tex3]
[tex3]\sum_{k=1}^nk=\frac{(n+1)\cdot n}{2}\text{ e}[/tex3]
[tex3]\sum_{k=1}^n1=n,[/tex3]
- [tex3]\sum_{k=2}^nk^4+(n+1)^4=1+\sum_{k=2}^nk^4+4\cdot \sum_{k=1}^nk^3+6\cdot \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}+4\cdot \frac{(n+1)\cdot n}{2}+n[/tex3]
- [tex3]4\cdot \sum_{k=1}^nk^3=(n+1)^4-1-n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)-2n\cdot(n+1)-n[/tex3]
- [tex3]\sum_{k=1}^nk^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left[\frac{(n+1)\cdot n}{2}\right]^2=(1+2+3+\ldots+n)^2.[/tex3]
Editado pela última vez por Alexandre_SC em 29 Jul 2007, 20:02, em um total de 2 vezes.
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