Ensino Superior ⇒ Demonstração: Soma dos Cubos dos n Primeiros Naturais Tópico resolvido
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Jan 2007
07
22:19
Demonstração: Soma dos Cubos dos n Primeiros Naturais
Prove que [tex3]1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + \ldots + n )^2[/tex3]
.
Última edição: edu_vrb (Dom 07 Jan, 2007 22:19). Total de 2 vezes.
Matemática
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Jan 2007
09
15:04
Re: Demonstração: Soma dos Cubos dos n Primeiros Naturais
Vejamos esse triângulo:
Sabendo que a linha número [tex3]n[/tex3] do triângulo corresponde a [tex3]n^3,[/tex3] temos que a soma [tex3](1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3)[/tex3] vale a soma das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas do triângulo.
Tendo em vista que os termos do triângulo estão em PA de razão [tex3]2,[/tex3] podemos encontrar o último termo da n-ésima linha, e assim teremos condições de encontrar a soma de todos os elementos das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas.
Como a linha [tex3]n[/tex3] do triângulo tem [tex3]n[/tex3] elementos, vamos encontrar o número [tex3]p[/tex3] de elementos das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas, utilizando a fórmula da soma dos termos de uma PA.
- [tex3]\begin{array}{llll}
1&&&\\
3 & 5& &\\
7 & 9 & 11\\
13 & 15& 17 & 19\\
& & & \\
\ldots& & &\end{array}[/tex3]
- [tex3]1 = 1^3\\
3 + 5 = 8 = 2^3\\
7 + 9 + 11 = 27 = 3^3\\
13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4^3\\
\ldots[/tex3]
Sabendo que a linha número [tex3]n[/tex3] do triângulo corresponde a [tex3]n^3,[/tex3] temos que a soma [tex3](1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3)[/tex3] vale a soma das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas do triângulo.
Tendo em vista que os termos do triângulo estão em PA de razão [tex3]2,[/tex3] podemos encontrar o último termo da n-ésima linha, e assim teremos condições de encontrar a soma de todos os elementos das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas.
Como a linha [tex3]n[/tex3] do triângulo tem [tex3]n[/tex3] elementos, vamos encontrar o número [tex3]p[/tex3] de elementos das [tex3]n[/tex3] primeiras linhas, utilizando a fórmula da soma dos termos de uma PA.
- [tex3]p =\frac{(1 + n)\cdot n}{2}[/tex3]
- [tex3]x = 1 + (p - 1)\cdot 2[/tex3]
- [tex3]x = (n + 1)\cdot n - 1[/tex3]
- [tex3]S = \frac{(1 + x)\cdot p}{2}[/tex3]
- [tex3]S = \frac{(n + 1)\cdot n\cdot (n + 1)\cdot n}{4} = \left[\frac{(n + 1)\cdot n}{2}\right]^2[/tex3] (I)
- [tex3](1 + 2 + 3 + \ldots + n) =\frac{(n + 1)\cdot n}{2}[/tex3] (II)
- [tex3]S = (1 + 2 + 3 + \ldots + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3[/tex3]
Última edição: Fernando Jaeger (Ter 09 Jan, 2007 15:04). Total de 2 vezes.
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Jul 2007
29
20:02
Re: Demonstração: Soma dos Cubos dos n Primeiros Naturais
- [tex3]1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3=\sum_{k=1}^nk^3[/tex3]
[tex3](k+1)^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1[/tex3]
- [tex3]\sum_{k=1}^n(k+1)^4=\sum_{k=1}^nk^4+4\cdot \sum_{k=1}^nk^3+6\cdot \sum_{k=1}^nk^2+4\cdot \sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1.[/tex3]
- [tex3]\sum_{k=1}^n(k+1)^4=\sum_{k=2}^nk^4+(n+1)^4,[/tex3]
[tex3]\sum_{k=1}^nk^4=1+\sum_{k=2}^nk^4,[/tex3]
[tex3]\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6},[/tex3]
[tex3]\sum_{k=1}^nk=\frac{(n+1)\cdot n}{2}\text{ e}[/tex3]
[tex3]\sum_{k=1}^n1=n,[/tex3]
- [tex3]\sum_{k=2}^nk^4+(n+1)^4=1+\sum_{k=2}^nk^4+4\cdot \sum_{k=1}^nk^3+6\cdot \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}+4\cdot \frac{(n+1)\cdot n}{2}+n[/tex3]
- [tex3]4\cdot \sum_{k=1}^nk^3=(n+1)^4-1-n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)-2n\cdot(n+1)-n[/tex3]
- [tex3]\sum_{k=1}^nk^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left[\frac{(n+1)\cdot n}{2}\right]^2=(1+2+3+\ldots+n)^2.[/tex3]
Última edição: Alexandre_SC (Dom 29 Jul, 2007 20:02). Total de 2 vezes.
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