Estou com dois exercicios que não consigo fazer, será que daria para alguém dar me uma explicação?
1) Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto [tex3]M ( 2, 1, -1)[/tex3]
e é perpendicilar à reta r de equação vetorial [tex3]r:X= ( 2, 0, 0) +\lambda (3, 1 , -1),\,( \lambda \in \mathbb{R})[/tex3]
2) Dados os pontos médios [tex3]M (2, 1, 3),\, N (5, 3, -1)[/tex3]
e [tex3]P (3, -4, 0)[/tex3]
dos lados de um triângulo [tex3]ABC,[/tex3]
determine as equações paramétricas do lado deste triângulo, cujo ponto médio é o ponto [tex3]M.[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica no Espaço: Reta Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2006
07
11:00
Geometria Analítica no Espaço: Reta
Última edição: MateusQqMD (Sáb 07 Mar, 2020 14:49). Total de 2 vezes.
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11:33
Equações simétricas
Olá Sílvia,
Primeiramente vou lhe dar uma dica, não poste mais de uma questão no mesmo tópico, isso só ajuda a atrasar a resolução de suas dúvidas. Pois os outros podem se sentir na obrigação de responder todas questões de uma só vez.
1) Para encontrar a reta perpendicular a reta dada passando pelo ponto, devemos encontrar primeiramente o plano perpendicular a reta dada passando pelo ponto. Após isso encontramos a intersecção deste plano com a reta. E, por último, encontramos a reta que passa pelo ponto de intersecção e o ponto dado.
Para encontrar o plano (X, Y, Z), fazemos o produto escalar da direção da reta (3, 1, -1)) com (X, Y, Z).
[tex3](X, Y, Z)\cdot(3, 1, -1)=0[/tex3]
[tex3]3X+Y-Z=0[/tex3]
[tex3]Z=3X+Y[/tex3]
Agora podemos encontrar a equação paramétrica do plano. Chamando X=t e Y=s temos a equação paramétrica:
[tex3]\begin{cases}X=t\\Y=s\\Z=3t+s\end{cases}[/tex3]
Mas esse plano deve passar pelo ponto [tex3](2, 1, -1)[/tex3] , para isso é só somar as coordenadas do ponto às equações paramétricas:
[tex3]\begin{cases}X=2+t\\Y=1+s\\Z=-1+3t+s\end{cases}[/tex3]
A equação paramétrica da reta dada é:
[tex3]\begin{cases}X=2+3\lambda\\Y=\lambda\\Z=-\lambda\end{cases}[/tex3]
A intersecção do plano com a reta será encontrada através do sistema:
[tex3]\begin{cases}2+t=2+3\lambda\\1+s=\lambda\\-1+3t+s=-\lambda\end{cases}[/tex3]
Que dá como resposta [tex3]\lambda=\frac{2}{11}[/tex3]
Substituindo este valor de [tex3]\lambda[/tex3] na equação da reta do enunciado, encontramos o ponto
[tex3]\left(\frac{28}{11}, \frac{2}{11},\frac{-2}{11}\right)[/tex3]
Agora, para encontrar a resposta, devemos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos [tex3]\left(\frac{28}{11}, \frac{2}{11},\frac{-2}{11}\right)[/tex3] e [tex3](2, 1, -1)[/tex3]
O vetor direção da reta pode ser encontrado fazendo a subtração das coordenadas destes pontos:
[tex3]\vec{v}=\left(\frac{-6}{11}, \frac{9}{11}, \frac{-9}{11}\right)[/tex3]
Como é um vetor, podemos utilizar qualquer múltiplo dele. Para facilitar, vamos utilizar com valores inteiros, multiplicando por 11.
[tex3]\vec{v}=(-6, 9, -9)[/tex3]
Sendo que a reta resposta passa pelo ponto (2,1,-1) e tem direção dada por (-6, 9, -9), sua equação é:
[tex3](2,1,-1)+\lambda(-6, 9, -9)[/tex3]
Fiz os cálculos sem utilizar rascunhos, confira, pode ter alguns errinhos...
Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br
Primeiramente vou lhe dar uma dica, não poste mais de uma questão no mesmo tópico, isso só ajuda a atrasar a resolução de suas dúvidas. Pois os outros podem se sentir na obrigação de responder todas questões de uma só vez.
1) Para encontrar a reta perpendicular a reta dada passando pelo ponto, devemos encontrar primeiramente o plano perpendicular a reta dada passando pelo ponto. Após isso encontramos a intersecção deste plano com a reta. E, por último, encontramos a reta que passa pelo ponto de intersecção e o ponto dado.
Para encontrar o plano (X, Y, Z), fazemos o produto escalar da direção da reta (3, 1, -1)) com (X, Y, Z).
[tex3](X, Y, Z)\cdot(3, 1, -1)=0[/tex3]
[tex3]3X+Y-Z=0[/tex3]
[tex3]Z=3X+Y[/tex3]
Agora podemos encontrar a equação paramétrica do plano. Chamando X=t e Y=s temos a equação paramétrica:
[tex3]\begin{cases}X=t\\Y=s\\Z=3t+s\end{cases}[/tex3]
Mas esse plano deve passar pelo ponto [tex3](2, 1, -1)[/tex3] , para isso é só somar as coordenadas do ponto às equações paramétricas:
[tex3]\begin{cases}X=2+t\\Y=1+s\\Z=-1+3t+s\end{cases}[/tex3]
A equação paramétrica da reta dada é:
[tex3]\begin{cases}X=2+3\lambda\\Y=\lambda\\Z=-\lambda\end{cases}[/tex3]
A intersecção do plano com a reta será encontrada através do sistema:
[tex3]\begin{cases}2+t=2+3\lambda\\1+s=\lambda\\-1+3t+s=-\lambda\end{cases}[/tex3]
Que dá como resposta [tex3]\lambda=\frac{2}{11}[/tex3]
Substituindo este valor de [tex3]\lambda[/tex3] na equação da reta do enunciado, encontramos o ponto
[tex3]\left(\frac{28}{11}, \frac{2}{11},\frac{-2}{11}\right)[/tex3]
Agora, para encontrar a resposta, devemos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos [tex3]\left(\frac{28}{11}, \frac{2}{11},\frac{-2}{11}\right)[/tex3] e [tex3](2, 1, -1)[/tex3]
O vetor direção da reta pode ser encontrado fazendo a subtração das coordenadas destes pontos:
[tex3]\vec{v}=\left(\frac{-6}{11}, \frac{9}{11}, \frac{-9}{11}\right)[/tex3]
Como é um vetor, podemos utilizar qualquer múltiplo dele. Para facilitar, vamos utilizar com valores inteiros, multiplicando por 11.
[tex3]\vec{v}=(-6, 9, -9)[/tex3]
Sendo que a reta resposta passa pelo ponto (2,1,-1) e tem direção dada por (-6, 9, -9), sua equação é:
[tex3](2,1,-1)+\lambda(-6, 9, -9)[/tex3]
Fiz os cálculos sem utilizar rascunhos, confira, pode ter alguns errinhos...
Atenciosamente
Prof. Caju
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