Ensino Superior ⇒ Seno , Cosseno e Tangente hiperbólico Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:3002)]

Prove que:

a) [tex3]arcsenhx=ln(x+\sqrt{x^2+1})[/tex3]

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[tex3]arcsenhx=ln(x+\sqrt{x^2+1})[/tex3]

b) [tex3]arccoshx=ln(x+\sqrt{x^2-1})[/tex3]

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[tex3]arccoshx=ln(x+\sqrt{x^2-1})[/tex3]

c) [tex3]arctghx=\frac{1}{2}ln\(\frac{x+1}{x-1}\)[/tex3]

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[tex3]arctghx=\frac{1}{2}ln\(\frac{x+1}{x-1}\)[/tex3]

[Cardoso1979]

Olá filipeot, como são "três (3) questões", irei resolver somente uma, pois você infringiu em uma das regras deste fórum, seguindo a ordem, vou resolver a letra a).

Observe

[tex3]a) \ arc \ senh (x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})[/tex3]

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[tex3]a) \ arc \ senh (x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})[/tex3]

Uma prova:

Vamos escrever a equação x = senh ( y ) em termos de funções exponenciais e resolvê-la para y como uma função de x. Isso irá produzir a equação y = arc senh ( x ) , em que arc senh( x ) está expressa em termos de logaritmos naturais. Expressando x = senh ( y ) em termos de exponenciais, obtemos

[tex3]x=sen h(y)=\frac{e^y-e^{-y}}{2}[/tex3]

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[tex3]x=sen h(y)=\frac{e^y-e^{-y}}{2}[/tex3]

a qual pode ser reescrita como

[tex3]e^y-2x-e^{-y}=0[/tex3]

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[tex3]e^y-2x-e^{-y}=0[/tex3]

Multiplicando essa equação por [tex3]e^{y}[/tex3]

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[tex3]e^{y}[/tex3]

, obtemos

[tex3]e^{2y}-2xe^y-1=0[/tex3]

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[tex3]e^{2y}-2xe^y-1=0[/tex3]

e , aplicando a fórmula quadrática, obtemos

[tex3]e^y=\frac{2x \ ± \ \sqrt{4x^2+4}}{2}[/tex3]

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[tex3]e^y=\frac{2x \ ± \ \sqrt{4x^2+4}}{2}[/tex3]

ou seja,

[tex3]e^y=x \ ± \ \sqrt{x^2+1}[/tex3]

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[tex3]e^y=x \ ± \ \sqrt{x^2+1}[/tex3]

Uma vez que [tex3]e^{y} > 0[/tex3]

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[tex3]e^{y} > 0[/tex3]

, a solução envolvendo o sinal menos deve ser descartada. Assim,

[tex3]e^y=x \ + \ \sqrt{x^2+1}[/tex3]

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[tex3]e^y=x \ + \ \sqrt{x^2+1}[/tex3]

Tomando o logaritmo natural, obtemos

y = ln [ x + √( x² + 1 ) ]

Mas,

x = senh ( y ) ⇔ arc senh ( x ) = y

Portanto, arc senh ( x ) = ln [ x + √( x² + 1 ) ]. C.q.p.




Bons estudos!