Ensino Superior ⇒ Derivada Tópico resolvido

[leha]

1° Um cartaz OUT DOOR dever ter 18m² de area total. As margens de cima e de baixo devem ter 75cm de largura e as margens laterais 50cm. Quais devem ser as dimensões do cartaz para que a area de impresão limitada pelas margens seja maior possivel?
Area = x*y

A = (x - 1).(y - 1,5) a área a ser impressa.
Logo, A = xy - 1,5x - y + 1,5
Daí, A = -1,5x - 18/x + 19,5
derivando, temos: -1,5 +18/x²
Igualando a 0, temos: x² = 18/1,5 = 12.
Com isso, x =[tex3]2\sqrt {2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\sqrt {2}[/tex3]

e y = [tex3]3\sqrt {3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3\sqrt {3}[/tex3]

Colegas depois de ter feito esse calculo e achado o x e y. O que eu devo fazer para que as margens seja maior possivel. Devo substituir o x em alguma coisa ou não? Um amigo meu falou para fazer isso.
Isolar o valor de x em (ii)"derivada de 2° ordem" e substitua em (i) e depois aplicada a derivada. Mas vai tá certo isso.
Abraço amigos. Fiquem com deus

[Cardoso1979]

leha, você fez quase tudo certinho, houve apenas um pequeno equívoco no valor de x , na realidade ele vale x = 2√3 m. Vou fazer mais detalhado, pois está meio confuso o que você digitou aí. E posteriormente irei completar a resposta final.

Observe

O exercício pede as dimensões de maior área impressa , que tem a fórmula:

Ai = ( x - 1 ).( y - 1,5 )

Obs. O desenho é bem simples, sei que você desenhou, porém , ficará como exercício para o leitor!

Do enunciado temos que a área do OUT DOOR mede 18m² , então escrevemos:

Aout. = x.y = 18m²

Isolando y , fica;

y = 18/x

Substituindo y = 18/x em Ai :

Ai = ( x - 1 ).[ ( 18/x ) - 1,5 ]

Ai = - ( 18/x ) - 1,5x + 19,5.


Maximizado Ai em função de x :

A'i( x ) = 0 = ( 18/x² ) - 1,5

1,5x² = 18

x² = 12

x = 2√3 m


Substituindo em y :

y = 18/x

y = 18/( 2√3 )

y = 3√3 m


Por fim , as dimensões da maior área impressa são:

Base : x - 1 = [ 2√(3) - 1 ]m

Altura : y - 1,5 = [ 3√(3) - 1,5 ]m


Excelente estudo!