Ensino Superior ⇒ Derivada direcional Tópico resolvido

[beagle]

6) Determine os pontos no hiperbolóide [tex3]x^2-y^2+2z^2=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-y^2+2z^2=1[/tex3]

onde a reta normal é paralela à reta que une os pontos (3, -1, 0) e (5, 3, 6).

Resposta:
[tex3](+-\sqrt(6)/3, +-2\sqrt(6)/3, +-\sqrt(6)/2)[/tex3]

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[tex3](+-\sqrt(6)/3, +-2\sqrt(6)/3, +-\sqrt(6)/2)[/tex3]

ou em: http://pic.leech.it/i/6ca74/50fa041conta.jpg

[Cardoso1979]

Observe

Mais uma questão com gabarito e bem antiga

Uma solução:

Primeiramente devemos calcular o vetor gradiente da função F( x , y , z ) = x² - y² + 2z² - 1 :

[tex3]▽F(x,y,z) = \left(\frac{\partial F}{\partial x} , \frac{\partial F}{\partial y} , \frac{\partial F}{\partial z}\right) = ( 2x , - 2y , 4z ) [/tex3]

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[tex3]▽F(x,y,z) = \left(\frac{\partial F}{\partial x} , \frac{\partial F}{\partial y} , \frac{\partial F}{\partial z}\right) = ( 2x , - 2y , 4z ) [/tex3]

Podemos usar o vetor que vai de ( 3 , - 1 , 0 ) a ( 5 , 3 , 6 ) como vetor diretor da nossa reta :

[tex3]\vec{v} = (5,3,6) - (3,-1,0) = ( 2, 4 , 6 )[/tex3]

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[tex3]\vec{v} = (5,3,6) - (3,-1,0) = ( 2, 4 , 6 )[/tex3]

Para que a reta normal do hiperbolóide seja paralela à reta que une esses pontos, o vetor gradiente no ponto P = ( a , b , c ) tem que ter a mesma direção do vetor diretor, mas pode ter sentido e magnitude diferente, portanto multiplicamos por m :

▽F( x , y , z ) = ( 2a , - 2b , 4c ) = m.( 2 , 4 , 6 )

Obtemos que a = m , b = - 2 , c = [tex3]\frac{3}{2}m[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{2}m[/tex3]

.

Como ( a , b , c ) pertence à hiperbolóide , temos:

[tex3]m^2 - (-2m)^2 + 2.\left(\frac{3m}{2}\right)^2 = 1[/tex3]

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[tex3]m^2 - (-2m)^2 + 2.\left(\frac{3m}{2}\right)^2 = 1[/tex3]

→ [tex3]m = ± \sqrt{\frac{2}{3}}[/tex3]

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[tex3]m = ± \sqrt{\frac{2}{3}}[/tex3]

Logo, os pontos são: [tex3]±\left(\sqrt{\frac{2}{3}} , -2\sqrt{\frac{2}{3}} , \sqrt{\frac{3}{2}}\right)[/tex3]

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[tex3]±\left(\sqrt{\frac{2}{3}} , -2\sqrt{\frac{2}{3}} , \sqrt{\frac{3}{2}}\right)[/tex3]

ou [tex3]\left(±\frac{\sqrt{6}}{3} , ± \frac{2\sqrt{6}}{3} ,
± \frac{\sqrt{6}}{2} \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(±\frac{\sqrt{6}}{3} , ± \frac{2\sqrt{6}}{3} ,
± \frac{\sqrt{6}}{2} \right)[/tex3]

.

Nota

Qualquer dúvida aconselho a você ou a qualquer outro usuário que vier a perguntar , que procure a fazer os complementos do meu raciocínio usando livros , internet , apostilas , etc. Fiz a minha parte , a questão está bem explicada , agora é com você ou a quem ainda tiver alguma dúvida relacionada a minha resolução



Excelente estudo!