Ensino Superior ⇒ Retas tangentes Tópico resolvido

[Doug]

Determinar as equações das retas tangentes a curva da função [tex3]f(x)=ln(x^{2}-5x+7)[/tex3]

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[tex3]f(x)=ln(x^{2}-5x+7)[/tex3]

nos pontos de sua intersecção com o eixo das abscissas.

Resposta

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[tex3]y={-}x+2\,e\,y=x-3[/tex3]

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[tex3]y={-}x+2\,e\,y=x-3[/tex3]

[Natan]

Vamos então:

qualquer ponto do eixo das abscissas é da forma [tex3](x,\, 0),[/tex3]

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[tex3](x,\, 0),[/tex3]

ou seja, são os ponto onde a ordenada é nula. Fazendo então [tex3]y=0[/tex3]

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[tex3]y=0[/tex3]

teremos:

[tex3]ln(x^{2}-5x+7)=y \\ ln(x^{2}-5x+7)=0 \\ x^{2}-5x+7=1 \Rightarrow x^{2}-5x+6=0\, \therefore\, x=2\, ou\, x=3[/tex3]

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[tex3]ln(x^{2}-5x+7)=y \\ ln(x^{2}-5x+7)=0 \\ x^{2}-5x+7=1 \Rightarrow x^{2}-5x+6=0\, \therefore\, x=2\, ou\, x=3[/tex3]

Logo os pontos de intercção serão: [tex3]P(2,\, 0)\, e\, Q(3,\, 0)[/tex3]

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[tex3]P(2,\, 0)\, e\, Q(3,\, 0)[/tex3]

Partimos agora para a derivada, afim de determinar o coeficiente angular de tais retas nos pontos desejados:

[tex3]f^'(x)=\frac{2x-5}{x^{2}-5x+7}[/tex3]

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[tex3]f^'(x)=\frac{2x-5}{x^{2}-5x+7}[/tex3]

daí:

[tex3]\left{ P(2,\, 0) \rightarrow m_r=\frac{4-5}{4-10+7}=-1 \\ Q(3,\, 0) \rightarrow m_s=\frac{6-5}{9-15+7}=1[/tex3]

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[tex3]\left{ P(2,\, 0) \rightarrow m_r=\frac{4-5}{4-10+7}=-1 \\ Q(3,\, 0) \rightarrow m_s=\frac{6-5}{9-15+7}=1[/tex3]

e portanto as retas serão:

[tex3]\left{ y-0=(-1)(x-2) \Rightarrow\, r:\, y=2-x \\ y-0=1(x-3) \Rightarrow\, s:\, y=x-3[/tex3]

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[tex3]\left{ y-0=(-1)(x-2) \Rightarrow\, r:\, y=2-x \\ y-0=1(x-3) \Rightarrow\, s:\, y=x-3[/tex3]