Ensino Superior ⇒ Derivada direcional Tópico resolvido

[Natan]

Determine as derivadas direcionais de primeira ordem da função definida por:

[tex3]f(x,\, y)=\int^x_y tcos(t^2)dt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,\, y)=\int^x_y tcos(t^2)dt[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Perceba que podemos escrever a função dada como,

[tex3]f( x , y ) = \int\limits_{y}^{x}t.cos (t^2 ) \ dt = \int\limits_{y}^{0}t.cos(t^2) \ dt \ + \ \int\limits_{0}^{x}t.cos(t^2) \ dt = -\int\limits_{0}^{y}t.cos(t^2) \ dt \ + \ \int\limits_{0}^{x}t.cos(t^2) \ dt [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f( x , y ) = \int\limits_{y}^{x}t.cos (t^2 ) \ dt = \int\limits_{y}^{0}t.cos(t^2) \ dt \ + \ \int\limits_{0}^{x}t.cos(t^2) \ dt = -\int\limits_{0}^{y}t.cos(t^2) \ dt \ + \ \int\limits_{0}^{x}t.cos(t^2) \ dt [/tex3]

Considerando F( t ) = t.cos( t² ) , u( x ) = x e v( y ) = y, temos:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial }{\partial x}\left( - \int\limits_{0}^{y} t.cos(t^2) \ dt\right) \ + \ \frac{\partial }{\partial x}\left( \int\limits_{0}^{x} t.cos(t^2) \ dt\right) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial }{\partial x}\left( - \int\limits_{0}^{y} t.cos(t^2) \ dt\right) \ + \ \frac{\partial }{\partial x}\left( \int\limits_{0}^{x} t.cos(t^2) \ dt\right) [/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}( x , y ) = - F(v)
\frac{dv}{dx} \ + \ F(u)\frac{du}{dx}[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}( x , y ) = - F(v)
\frac{dv}{dx} \ + \ F(u)\frac{du}{dx}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}( x , y ) = - y.cos(y^2)
\frac{d}{dx}(y) \ + \ x.cos(x^2)\frac{d}{dx}( x )[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}( x , y ) = - y.cos(y^2)
\frac{d}{dx}(y) \ + \ x.cos(x^2)\frac{d}{dx}( x )[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}( x , y ) = - y.cos(y^2).0 \ + \ x.cos(x^2).1[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}( x , y ) = - y.cos(y^2).0 \ + \ x.cos(x^2).1[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}( x , y )[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}( x , y )[/tex3]

= x.cos( x² ).

E

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial }{\partial y}\left( - \int\limits_{0}^{y} t.cos(t^2) \ dt\right) \ + \ \frac{\partial }{\partial y}\left( \int\limits_{0}^{x} t.cos(t^2) \ dt\right) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial }{\partial y}\left( - \int\limits_{0}^{y} t.cos(t^2) \ dt\right) \ + \ \frac{\partial }{\partial y}\left( \int\limits_{0}^{x} t.cos(t^2) \ dt\right) [/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}( x , y ) = - F(v)
\frac{dv}{dy} \ + \ F(u)\frac{du}{dy}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}( x , y ) = - F(v)
\frac{dv}{dy} \ + \ F(u)\frac{du}{dy}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}( x , y ) = - y.cos(y^2)
\frac{d}{dy}(y) \ + \ x.cos(x^2)\frac{d}{dy}( x )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}( x , y ) = - y.cos(y^2)
\frac{d}{dy}(y) \ + \ x.cos(x^2)\frac{d}{dy}( x )[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}( x , y ) = - y.cos(y^2).1 \ + \ x.cos(x^2).0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}( x , y ) = - y.cos(y^2).1 \ + \ x.cos(x^2).0[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}( x , y )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}( x , y )[/tex3]

= - y.cos( y² ).


Excelente estudo!