Ensino Superior ⇒ Derivada Tópico resolvido

[Natan]

Calcule a derivada da função [tex3]f(x)=cos^x(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=cos^x(x)[/tex3]

[matbatrobin]

Poderia ser assim?

[tex3]f(x)=\underbrace{cos(x)\cdot cos(x)\cdot \cdot \cdot cos(x)}_{x\,vezes} \Rightarrow f'(x)=x\cdot \frac{d}{dx}(cosx)\cdot (cosx)^{x-1}=-x\cdot senx\cdot (cosx)^{x-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\underbrace{cos(x)\cdot cos(x)\cdot \cdot \cdot cos(x)}_{x\,vezes} \Rightarrow f'(x)=x\cdot \frac{d}{dx}(cosx)\cdot (cosx)^{x-1}=-x\cdot senx\cdot (cosx)^{x-1}[/tex3]

[Natan]

A derivada interna nesse caso seria [tex3]x,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x,[/tex3]

mais não sai por ai.

[matbatrobin]

[tex3]h(x)=cos^x(x)=(e^{ln\,cosx})^x=e^{x\cdot ln\,cosx}=g(f(x))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h(x)=cos^x(x)=(e^{ln\,cosx})^x=e^{x\cdot ln\,cosx}=g(f(x))[/tex3]

, em que [tex3]g(x)=e^x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(x)=e^x[/tex3]

e [tex3]f(x)=x\cdot ln\,cosx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=x\cdot ln\,cosx[/tex3]

, então pela regra da cadeia fica:

[tex3]h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) \\ \, \\ h'(x)=e^{x\cdot ln\,cosx}\cdot \frac{d}{dx}(x\cdot ln\,cosx)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) \\ \, \\ h'(x)=e^{x\cdot ln\,cosx}\cdot \frac{d}{dx}(x\cdot ln\,cosx)[/tex3]

[tex3]r(x)=ln\,cosx=u(v(x))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r(x)=ln\,cosx=u(v(x))[/tex3]

, em que [tex3]u(x)=ln\,x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u(x)=ln\,x[/tex3]

e [tex3]v(x)=cosx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v(x)=cosx[/tex3]

, então:

[tex3]r'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x) \\ r'(x)=\frac{1}{cosx}\cdot (-senx)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x) \\ r'(x)=\frac{1}{cosx}\cdot (-senx)[/tex3]

Aplicando isso temos:

[tex3]h'(x)=e^{x\cdot ln\,cosx}\cdot (ln\,cosx +x\,\frac{-senx}{cosx})= \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=cos^x(x)\cdot (ln\,cosx-x\cdot tgx)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h'(x)=e^{x\cdot ln\,cosx}\cdot (ln\,cosx +x\,\frac{-senx}{cosx})= \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=cos^x(x)\cdot (ln\,cosx-x\cdot tgx)[/tex3]